Twierdzenie o funkcjach trygonometrycznych sumy i różnicy

Dla dowolnych $x,y\in\mathbb{R}$ x,y\in\mathbb{R} zachodzą następujące równości:

\sin(x+y)=\sin x\cos y + \cos x \sin y\\ \sin(x-y)=\sin x\cos y - \cos x \sin y\\ \cos(x+y)=\cos x\cos y - \sin x \sin y\\ \cos(x-y)=\cos x \cos y + \sin x \sin y

Dodatkowo:

Dla $\displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} \right\}$ \displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} \right\}:

\tg(x+y)=\frac{\tg x + \tg y}{1-\tg x\tg y}\\ \tg(x-y)=\frac{\tg x - \tg y}{1+\tg x \tg y}\\

Dla $\displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z} \right\}$ \displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z} \right\}:
$\ctg(x+y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y - 1}{\ctg y+\ctg x}\\ \ctg(x-y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y + 1}{\ctg y - \ctg x}$
\ctg(x+y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y - 1}{\ctg y+\ctg x}\\ \ctg(x-y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y + 1}{\ctg y - \ctg x}