Definicja 1

Nierówność wymierna

Nierównością wymierną z niewiadomą x nazywamy nierówność przyjmującą jedną z następujących postaci:

(0)\begin{aligned} \frac{W(x)}{P(x)}&<0\\ \frac{W(x)}{P(x)}&>0\\ \frac{W(x)}{P(x)}&\le0\\ \frac{W(x)}{P(x)}&\ge0\\ \end{aligned}

gdzie W(x) i P(x) to wielomiany oraz P(x)\neq0. Dziedziną nierówności wymiernej jest zbiór tych liczb rzeczywistych dla których P(x)\neq0.

Nierówności wymierne rozwiązujemy na dwa sposoby.

Sposób I - analiza znaku licznika i mianownika ułamka algebraicznego

W tej metodzie sprawdzamy dla jakich argumentów ułamek algebraiczny przyjmuje wartości ujemne/dodatnie (w zależności od znaku nierówności) co prowadzi do:

jeżeli znak nierówności to < lub \le , czyli szukamy liczb dla których ułamek jest ujemny (niedodatni), to rozpatrujemy dwa przypadki:
(0)\begin{cases} W(x)>0\\ P(x)<0 \end{cases} \lor \begin{cases} W(x)<0\\ P(x)>0 \end{cases}
jeżeli znak nierówności to > lub \ge, czyli szukamy liczb dla których ułamek jest dodatni (nieujemny), to rozpatrujemy dwa przypadki:
(0)\begin{cases} W(x)>0\\ P(x)>0 \end{cases} \lor \begin{cases} W(x)<0\\ P(x)<0 \end{cases}

Sposób II - metoda równań równoważnych

W tej metodzie przekształcamy nierówność wymierną do postaci równoważnej mnożąc obie jej strony przez wyrażenie dodatnie, najczęściej przez kwadrat mianownika.

Twierdzenie 1

O metodzie nierówności równoważnych dla nierówności wymiernej

Jeżeli nierówność wymierną \displaystyle \frac{W(x)}{P(x)} <0 pomnożymy obustronnie przez kwadrat mianownika, to otrzymana w ten sposób nierówność jest równoważna początkowej nierówności i przyjmuje postać W(x)P(x)<0, przy czym znak nierówności < można zastąpić przez dowolny ze znaków >,\le,\ge.

Podsumowując:

wyznaczamy dziedzinę nierówności
przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę, po prawej zostawiając jedynie 0
mnożymy nierówność stronami przez mianownik podniesiony do parzystej potęgi (co zapewnia nieujemność wyrażenia i brak konieczności zmiany znaku nierówności)
rozwiązujemy otrzymaną nierówność i uwzględniamy dziedzinę