Własności prawdopodobieństwa

Niech $P$P będzie prawdopodobieństwem określonym na przestrzeni zdarzeń elementarnych $\Omega$\Omega. Wówczas:

• $P(\emptyset)=0$P(\emptyset)=0,

• $P(A)\le 1$P(A)\le 1,

• Jeżeli $A\subset B\subset\Omega$A\subset B\subset\Omega, to $P(A)\le P(B)$P(A)\le P(B)

• Dla dowolnego $A\subset\Omega$A\subset\Omega, $P(A')=1-P(A)$P(A')=1-P(A)

• Dla dowolnych $A,B\subset\Omega$A,B\subset\Omega,

  $$P(A\backslash B)=P(A)-P(A\cap B)$$

  P(A\backslash B)=P(A)-P(A\cap B)(0)

• Dla dowolnych $A,B\subset\Omega$A,B\subset\Omega,

  $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

  P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)(0)

• Dla dowolnych $A_1,A_2,\dots,A_n\subset \Omega$A_1,A_2,\dots,A_n\subset \Omega takich że $A_i\cap A=\emptyset$A_i\cap A=\emptyset dla $i\neq j$i\neq j zachodzi:

  $$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots +P(A_n)$$

  P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots +P(A_n)(0)

• Dla dowolnych $A,B,C\subset \Omega$A,B,C\subset \Omega:

  $$\begin{aligned} P(A\cup B\cup C)&=P(A)+P(B)+P(C)\\&-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C) \\&+ P(A\cap B\cap C) \end{aligned}$$

  \begin{aligned} P(A\cup B\cup C)&=P(A)+P(B)+P(C)\\&-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C) \\&+ P(A\cap B\cap C) \end{aligned}(0)