Definicja 1

Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg opisany na trójkącie to okrąg, którego wszystkie wierzchołki leżą na tym okręgu (środek okręgu jest równo oddalony od wierzchołków trójkąta).

Twierdzenie 1

O okręgu opisanym na trójkącie

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Twierdzenie 2

O długości promienia okręgu opisanego na trójkącie

Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości a,b,c dany jest wzorem:

R=\frac{abc}{4P}

lub

R= \frac{a}{2\sin\alpha}

gdzie P to pole trójkąta.

Twierdzenie 3

O polu trójkąta wpisanego w okrąg

Pole trójkąta o bokach a,b,c wpisanego w okrąg o promieniu R wyraża się wzorem:

P=\frac{abc}{4R}

Twierdzenie 4

O środku okręgu opisanego na trójkącie

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży:

wewnątrz trójkąta, gdy trójkąt jest ostrokątny,
w połowie przyprostokątnej, gdy trójkąt jest prostokątny,
na zewnątrz trójkąta, gdy trójkąt jest rozwartokątny

Twierdzenie 5

O okręgu opisanym na trójkącie równoramiennym

W trójkącie równoramiennym środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży na prostej zawierającej wysokość poprowadzoną na podstawę.

Twierdzenie 6

O okręgu opisanym na trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie (tj. środek okręgu jest również środkiem przeciwprostokątnej)/

Twierdzenie 7

O okręgu opisanym na trójkącie równobocznym

Długość promienia opisanego na trójkącie równobocznym wynosi

R= \frac{2}{3}h= \frac{a\sqrt{3}}{3}

Twierdzenie o polu trójkąta wpisanego w okrąg