Twierdzenie o działaniach na granicach ciągów zbieżnych

Jeżeli $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a oraz $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=b$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=b, gdzie $a,b,\in\mathbb{R}$a,b,\in\mathbb{R}, to ciągi $\left(a_n+b_n\right)$\left(a_n+b_n\right), $\left(a_n-b_n\right)$\left(a_n-b_n\right), $\left(a_n \cdot b_n\right)$\left(a_n \cdot b_n\right) oraz $\displaystyle \left( \frac{a_n}{b_n} \right)$\displaystyle \left( \frac{a_n}{b_n} \right) (o ile dodatkowo $b\neq 0$b\neq 0 i $b_n\neq0$b_n\neq0) również są zbieżne oraz zachodzą następujące równości:

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(c\cdot a_n)=c\cdot a,\quad \text{ gdzie } c\in\mathbb{R}$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(c\cdot a_n)=c\cdot a,\quad \text{ gdzie } c\in\mathbb{R}

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n + \lim_{n\to\infty}b_n=a+b$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n + \lim_{n\to\infty}b_n=a+b

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n -\lim_{n\to\infty}b_n=a-b$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n -\lim_{n\to\infty}b_n=a-b

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n \cdot\lim_{n\to\infty}b_n=a\cdot b$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n \cdot\lim_{n\to\infty}b_n=a\cdot b

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n} =\frac{a}{b},\quad \text{ gdzie } b\neq0,b_n\neq0 \text{ dla }n\in\mathbb{N_+}$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n} =\frac{a}{b},\quad \text{ gdzie } b\neq0,b_n\neq0 \text{ dla }n\in\mathbb{N_+}