Dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych x , y ∈ R + x,y\in\mathbb{R_+} x , y ∈ R + x,y\in\mathbb{R_+} n , m ∈ N + n,m\in\mathbb{N_+} n , m ∈ N + n,m\in\mathbb{N_+}
x n ⋅ y n = x y n x n y n = x y n x m n = ( x n ) m x n m = x m ⋅ n x < y ⇒ x n < y n \begin{align*}
\sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y} &= \sqrt[n]{xy}\\
\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}&=\sqrt[n]{\frac{x}{y}}\\
\sqrt[n]{x^m}&=\left(\sqrt[n]{x}\right)^m\\
\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}&=\sqrt[m\cdot n]{x}\\
x<y & \Rightarrow \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y}
\end{align*} n x ⋅ n y n y n x n x m m n x x < y = n x y = n y x = ( n x ) m = m ⋅ n x ⇒ n x < n y \begin{align*}
\sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y} &= \sqrt[n]{xy}\\
\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}&=\sqrt[n]{\frac{x}{y}}\\
\sqrt[n]{x^m}&=\left(\sqrt[n]{x}\right)^m\\
\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}&=\sqrt[m\cdot n]{x}\\
x<y & \Rightarrow \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y}
\end{align*} (0) Dodatkowo, jeśli oba stopnie pierwiastków n n n n m m
m m
x , y ∈ R x,y\in\mathbb{R} x , y ∈ R x,y\in\mathbb{R}
Dodatkowo:
( x n ) n = x \left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x ( n x ) n = x \left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x (0)
