Twierdzenie o obrazie punktu w symetrii osiowej względem prostej równoległej do osi OY

Symetria osiowa względem prostej $x=p$x=p oznacza, że dla każdego punktu $P=\left(x_0,y_0\right)$P=\left(x_0,y_0\right) jego obraz $P'=\left(x',y'\right)$P'=\left(x',y'\right) znajduje się w tej samej odległości od prostej co punkt $P$P.

Ponieważ prosta $x=p$x=p jest równoległa do osi $OX$OX, to współrzędna $y-$y-owa się nie zmienia i mamy:

a co za tym idzie odcinek $PP'$PP' jest równoległy do osi $OX$OX.

W związku z tym, aby odległość punktu $P'$P' od tej prostej była równa odległości punktu $P$P od tej prostej, to $p$p musi być współrzędną $x-$x-ową środka odcinka $PP'$PP' tj.

zatem przekształcając mamy: