Teoria liczb

Teoria liczb to jedna z najstarszych i najbardziej fundamentalnych dziedzin matematyki, która zajmuje się badaniem własności liczb, szczególnie liczb całkowitych. Jest to dziedzina o dużym znaczeniu teoretycznym, ale ma też praktyczne zastosowania w kryptografii, informatyce, fizyce i innych obszarach.

Podstawowe zagadnienia teorii liczb:

• Podstawowe pojęcia:

  • Liczby naturalne ($\mathbb{N}$\mathbb{N}) – liczby całkowite dodatnie: $1, 2, 3, ...$1, 2, 3, ...

  • Liczby całkowite ($\mathbb{Z}$\mathbb{Z}) – liczby naturalne, ich przeciwności i zero: $..., -2, -1, 0, 1, 2, ...$..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

  • Liczby pierwsze – liczby naturalne większe od $1$1, które mają dokładnie dwa dzielniki: $1$1 i siebie samą (np. $2, 3, 5, 7, 11$2, 3, 5, 7, 11).

• Podzielność:

  • Dzielnik – liczba $d$d jest dzielnikiem liczby $n$n, jeśli istnieje liczba całkowita $k$k, taka że $n=d \cdot k$n=d \cdot k.

  • Największy wspólny dzielnik (NWD) – największa liczba, która dzieli dwie liczby bez reszty.

  • Algorytm Euklidesa – metoda znajdowania NWD dwóch liczb.

• Kongruencje:

  • Kongruencja – mówimy, że $a\equiv b\ (\text{mod }m)$a\equiv b\ (\text{mod }m), jeśli $m$m dzieli różnicę $a-b$a-b.

  • Chińskie twierdzenie o resztach – pozwala rozwiązywać układy kongruencji.

• Liczby pierwsze i ich własności:

  • Rozkład na czynniki pierwsze – każda liczba naturalna większa od 1 może być jednoznacznie przedstawiona jako iloczyn liczb pierwszych.

  • Twierdzenie o liczbach pierwszych – opisuje asymptotyczny rozkład liczb pierwszych.