Twierdzenie o rozwiązaniu nierówności kwadratowej

Niech $a,b,c\in\mathbb{R}$a,b,c\in\mathbb{R}, $a\neq0$a\neq0 i niech $\Delta$\Delta będzie . Wówczas, rozwiązania nierówności kwadratowej

można opisać w zależności od znaku $a$a, rodzaju nierówności oraz wartości $\Delta$\Delta w następujący sposób (korzystając z ):

• $\Delta>0$\Delta>0 (dwa pierwiastki rzeczywiste $x_1<x_2$x_1<x_2)
  

  $a$a	Rodaj nierówności	Rozwiązanie
  $>0$>0	$>$>	$x\in(-\infty,x_1)\cup (x_2,\infty)$x\in(-\infty,x_1)\cup (x_2,\infty)
  $>0$>0	$\ge$\ge	$x\in(-\infty,x_1]\cup [x_2,\infty)$x\in(-\infty,x_1]\cup [x_2,\infty)
  $>0$>0	$<$<	$x\in(x_1,x_2)$x\in(x_1,x_2)
  $>0$>0	$\le$\le	$x\in[x_1,x_2]$x\in[x_1,x_2]
  $<0$<0	$>$>	$x\in(x_1,x_2)$x\in(x_1,x_2)
  $<0$<0	$\ge$\ge	$x\in[x_1,x_2]$x\in[x_1,x_2]
  $<0$<0	$<$<	$x\in(-\infty,x_1)\cup (x_2,\infty)$x\in(-\infty,x_1)\cup (x_2,\infty)
  $<0$<0	$\le$\le	$x\in(-\infty,x_1]\cup [x_2,\infty)$x\in(-\infty,x_1]\cup [x_2,\infty)

  

• $\Delta=0$\Delta=0 (jeden pierwiastek rzeczywisty $x_0$x_0)
  

  $a$a	Rodaj nierówności	Rozwiązanie
  $>0$>0	$>$>	$x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}$x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}
  $>0$>0	$\ge$\ge	$x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R}
  $>0$>0	$<$<	$x\in\emptyset$x\in\emptyset
  $>0$>0	$\le$\le	$x\in\{x_0\}$x\in\{x_0\}
  $<0$<0	$>$>	$x\in\emptyset$x\in\emptyset
  $<0$<0	$\ge$\ge	$x\in\{x_0\}$x\in\{x_0\}
  $<0$<0	$<$<	$x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}$x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}
  $<0$<0	$\le$\le	$x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R}

  

• $\Delta<0$\Delta<0 (brak pierwiastków rzeczywistych)
  

  $a$a	Rodaj nierówności	Rozwiązanie
  $>0$>0	$>$>	$x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R}
  $>0$>0	$\ge$\ge	$x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R}
  $>0$>0	$<$<	$x\in\emptyset$x\in\emptyset
  $>0$>0	$\le$\le	$x\in\emptyset$x\in\emptyset
  $<0$<0	$>$>	$x\in\emptyset$x\in\emptyset
  $<0$<0	$\ge$\ge	$x\in\emptyset$x\in\emptyset
  $<0$<0	$<$<	$x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R}
  $<0$<0	$\le$\le	$x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R}