Własności funkcji logarytmicznej

Dla funkcji logarytmicznej $f(x)=\log_ax$f(x)=\log_ax zachodzą następujące własności:

• Dziedziną funkcji jest przedział $(0,\infty)$(0,\infty),

• Zbiorem wartości funkcji jest $\mathbb{R}$\mathbb{R}

• Funkcja jest rosnąca dla $a>1$a>1 oraz malejąca dla $a\in(0,1)$a\in(0,1), tj. dla $x_1,x_2\in\mathbb{R_+}$x_1,x_2\in\mathbb{R_+} zachodzi:

  $$\begin{aligned} a\in (1,+\infty)&\Rightarrow \log_a x_1 <\log_a x_2\iff x_1>x_2\\ a\in (0,1)&\Rightarrow \log_a x_1 <\log_a x_2\iff x_1<x_2 \end{aligned}$$

  \begin{aligned} a\in (1,+\infty)&\Rightarrow \log_a x_1 <\log_a x_2\iff x_1>x_2\\ a\in (0,1)&\Rightarrow \log_a x_1 <\log_a x_2\iff x_1<x_2 \end{aligned}(0)

• Funkcja posiada dokładnie jedno miejsce zerowe $x=1$x=1

• Funkcja jest różnowartościowa, tj. dla dowolnych $a\in\left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right)$a\in\left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right) i $x_1,x_2\in\mathbb{R}$x_1,x_2\in\mathbb{R} zachodzi:

  $$\log_a x_1=\log_a x_2 \iff x_1=x_2$$

  \log_a x_1=\log_a x_2 \iff x_1=x_2(0)

• Wykres funkcji leży w $I$I i $IV$IV ćwiartce układu współrzędnych

• Jeżeli $a>1$a>1 $(a\in(0,1))$(a\in(0,1)) to funkcja przyjmuje wartości ujemne (dodatnie) w przedziale $(0,1)$(0,1) i dodatnie (ujemne) w przedziale $(1,+\infty)$(1,+\infty).