Matura (maj 2004, poziom podstawowy, próbna, OKE Łódź)

Miejscem zerowym funkcji jest . Oblicz .

Dana jest funkcja określona wzorem . Wyznacz zbiór wartości funkcji .

Widownia wokół boiska do koszykówki podzielona jest na cztery sektory. W pierwszym rzędzie każdego sektora jest miejsc, a w każdym następnym rzędzie o miejsca więcej niż w rzędzie poprzednim. W każdym sektorze są rzędy. Oblicz liczbę wszystkich miejsc na widowni.

Na poniższym rysunku przedstawiono równoramienny trójkąt (o podstawie ) oraz prostokątny równoramienny trójkąt (o podstawie ). Uzasadnij, że .

W architekturze islamu często stosowanym elementem był “łuk podkowiasty”. Schemat okna w kształcie takiego łuku (łuku okręgu) przedstawiono na rysunku poniżej. Korzystając z danych na rysunku oblicz wysokość okna i największy prześwit .

Funkcja przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o od niej mniejszą.

1. Podaj wzór funkcji

2. Zbadaj, ile rozwiązań ma równanie .

Pole trójkąta o wierzchołkach można obliczyć stosując następującą metodę:

• zaznaczamy w układzie współrzędnych punkty ;

• rysujemy prostokąt w sposób przedstawiony na rysunku (odpowiednie boki prostokąta mają być równoległe do osi układu współrzędnych);

• odczytujemy długości odpowiednich odcinków: , , , , , .

• obliczamy pole prostokąta: ;

• obliczamy pola odpowiednich trójkątów prostokątnych:

• od pola prostokąta odejmujemy sumę pól trójkątów: .

Stosując opisana wyżei metodę, oblicz pole trójkąta o wierzchołkach .

Ciąg określony jest wzorem .

1. Wyznacz liczbę ujemnych wyrazów tego ciągu,

2. Sprawdź, na podstawie definicji, czy ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Punkty , , są wierzchołkami trójkąta .

1. Oblicz długość odcinka .

2. Napisz równanie prostej , do której należą punkty i .

3. Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej takiej, że .

4. Uzasadnij, że środek okręgu opisanego na trójkącie nie należy do prostej .

Dane są liczby i .

1. Sprawdź, czy

2. Oblicz .

Dane są wielomiany i .

1. Sprawdź, czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu .

2. Wielomian jest sumą wielomianów i . Rozłóż wielomian na czynniki liniowe.