Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) za pomocą fragmentów wykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 (zobacz rysunek). Funkcje 𝑓 oraz 𝑔 są określone wzorami 𝑓(𝑥) = 𝑥^2 oraz 𝑔(𝑥) = - 1/2(x- 1/2 )^2+4. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt 𝑃 = (−1, 1).Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.Oblicz współrzędne punktu K, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca K toru od początku P) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru. Wskazówka. Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu R leżącego na wykresie funkcji g od punktu P wyraża się wzorem|PR|=√( 1/4x^4- 1/2x^3- 13/8x^2+ 39/8x+ 593/64 )gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R.

Zadanie

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz (zobacz rysunek). Funkcje oraz są określone wzorami oraz .
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt .

Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.

Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca toru od początku ) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Wskazówka. Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem