Matura (marzec 2022, poziom rozszerzony, Arkusz pokazowy)

Dane są liczby oraz .

Wyraź za pomocą liczb oraz .

Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej .

Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie .

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny , określony dla każdej liczby naturalnej . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu jest równa , a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa .

Wyznacz wszystkie wartości , dla których spełniona jest nierówność

gdzie oznacza sumę początkowych wyrazów ciągu .

Dane jest równanie

z niewiadomą i parametrem .

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez jest liczbą podzielną przez .

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz (zobacz rysunek). Funkcje oraz są określone wzorami oraz .
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt .

Niech będzie punktem leżącym na wykresie funkcji .

Wykaż, że odległość punktu od punktu wyraża się wzorem

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz (zobacz rysunek). Funkcje oraz są określone wzorami oraz .
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt .

Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.

Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca toru od początku ) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Wskazówka. Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Rozwiąż równanie

w zbiorze .

Dany jest trapez równoramienny o obwodzie i podstawach oraz takich, że . Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna trapezu ma długość (zobacz rysunek).

Wykaż, że promień okręgu opisanego na trapezie jest równy .

W kartezjańskim układzie współrzędnych punkt jest wierzchołkiem trójkąta . Prosta o równaniu zawiera dwusieczną kąta tego trójkąta. Okrąg o równaniu jest wpisany w ten trójkąt.

Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki i tego trójkąta z okręgiem .

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie i polu powierzchni bocznej równym . Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka ma miarę .

Objętość tego ostrosłupa jest równa , gdzie jest stałym współczynnikiem liczbowym.

Oblicz współczynnik .

Egzamin składa się z zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli udzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej zadaniach. Pewien student przystąpił nieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź. Przyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równo prawdopodobny.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin.