Ten typ obejmuje zadania, w których wykazujemy, że liczba zapisana wyrażeniem — z potęgami albo ze zmienną n — jest podzielna przez daną liczbę lub daje przy dzieleniu przez nią określoną resztę. Z definicji podzielności liczba całkowita a jest podzielna przez d\neq0, gdy a=d\cdot k dla pewnej liczby całkowitej k. Z twierdzenia o dzieleniu z resztą każdą liczbę całkowitą a możemy zapisać w postaci:

a=d\cdot k+r $Podzielność$

Tu k jest liczbą całkowitą, a reszta r spełnia warunek 0\le r<|d|. Wykazanie podzielności polega więc na przekształceniu wyrażenia do postaci d\cdot k, a wykazanie reszty — do postaci d\cdot k+r. Przydają się przy tym wzory skróconego mnożenia, cechy podzielności liczb oraz fakty o kolejnych liczbach całkowitych: z dwóch kolejnych liczb jedna jest parzysta, iloczyn trzech kolejnych liczb jest podzielny przez 6, a czterech — przez 24.

Liczby zapisane potęgami — wyłączanie wspólnej potęgi

W tym wariancie liczba jest sumą lub różnicą potęg. Korzystając z własności potęg, sprowadzamy je do wspólnej podstawy i wyłączamy przed nawias najmniejszą potęgę:

a^n+a^{n+1}+a^{n+2}=a^n\left(1+a+a^2\right)

W nawiasie zostaje liczba, której rozkład na czynniki zawiera szukany dzielnik, np. 1+3+3^2=13.

W tym zadaniu sumujemy cztery kolejne potęgi tej samej podstawy, więc od razu wyłączamy przed nawias najmniejszą z nich.

Tutaj podstawy są różne, ale każda jest potęgą liczby 2, więc najpierw zapisujemy wszystkie składniki jako potęgi dwójki.

Tutaj wykładniki zależą od n, a w wyrażeniu występują potęgi dwóch różnych podstaw. Wspólne potęgi wyłączamy osobno dla każdej podstawy, a potem szukamy wspólnego czynnika liczbowego obu części.

Rozkład wyrażenia ze zmienną na czynniki

W tym wariancie liczba jest wyrażeniem ze zmienną n. Przekształcamy je — wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia — aż otrzymamy iloczyn, w którym widać dzielnik. Często jeden czynnik daje tylko część dzielnika, np. 3n(n+1) dzieli się przez 3, a przez 2 — bo iloczyn dwóch kolejnych liczb n(n+1) jest liczbą parzystą. Zapis d\mid a oznacza, że d jest dzielnikiem a; dla każdej liczby całkowitej n:

\begin{aligned}2&\mid n(n+1)\\ 6&\mid n(n+1)(n+2)\end{aligned} $Liczby parzyste$

Gdy dzielnik jest iloczynem liczb względnie pierwszych, np. 6=2\cdot3 albo 10=2\cdot5, wystarczy wykazać podzielność przez każdą z nich — tak jak w cechach podzielności przez 6.

W tym zadaniu po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias jeden czynnik daje podzielność przez liczbę nieparzystą, a podzielność przez 2 trzeba jeszcze uzasadnić parzystością iloczynu dwóch liczb.

Tutaj wyrażenie trzeciego stopnia ma być podzielne przez liczbę złożoną z trzech różnych czynników pierwszych. Po wyłączeniu czynnika i rozkładzie na czynniki otrzymujemy iloczyn trzech kolejnych liczb, który dostarcza pozostałych czynników dzielnika.

Tutaj najpierw rozwijamy kwadrat sumy, a dzielnik jest potęgą liczby 2 — po wyłączeniu czynnika potrzebna jest jeszcze parzystość iloczynu dwóch kolejnych liczb.

Liczba nieparzysta lub o danej reszcie — zapis założenia

W tym wariancie o zmiennej wiemy, że jest liczbą nieparzystą albo daje określoną resztę z dzielenia. Zapisujemy to założenie wzorem i podstawiamy do wyrażenia:

\begin{aligned}n&=2k+1\\ n&=d\cdot k+r\end{aligned} $Liczby nieparzyste$

Tu k jest liczbą całkowitą: pierwszy wzór opisuje liczby nieparzyste, a drugi — liczby dające resztę r z dzielenia przez d.

W tym zadaniu wiemy tylko, że zmienna jest liczbą nieparzystą, więc podstawiamy zapis liczby nieparzystej i po uproszczeniu wyłączamy dzielnik przed nawias.

Tutaj są dwie liczby o różnych resztach z dzielenia przez tę samą liczbę, więc każdą zapisujemy z inną zmienną, np. a=dk+r_1 i b=dm+r_2.

Tutaj założenie dopuszcza dwie różne reszty — liczba niepodzielna przez 3 może dawać jedną z dwóch reszt — więc rozpatrujemy dwa przypadki i w każdym pokazujemy, jaką resztę daje kwadrat liczby.

Wykazywanie reszty z dzielenia

W tym wariancie mamy wykazać, że wyrażenie daje przy dzieleniu przez d resztę r. Zgodnie z twierdzeniem o dzieleniu z resztą przekształcamy je do postaci:

d\cdot k+r

Tu k musi być liczbą całkowitą, a 0\le r<d.

W tym zadaniu liczba jest sumą kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych. Wygodnie zapisać je symetrycznie jako n-1, n, n+1 — wtedy po rozwinięciu kwadratów wyrazy z pierwszą potęgą n się redukują.

Tutaj wyrażenie ma ujemny wyraz wolny, więc reszty nie odczytamy od razu — część wyrazu wolnego przenosimy do nawiasu tak, by reszta była nieujemna i mniejsza od dzielnika.

Tutaj chodzi o resztę z dzielenia przez potęgę dwójki, więc samo wyłączenie czynnika nie wystarcza — trzeba jeszcze wykorzystać parzystość iloczynu dwóch liczb.

Rozkład dużej liczby na czynniki

W tym wariancie liczba nie zawiera zmiennej, ale jest zbyt duża, by ją obliczyć. Rozkładamy ją na czynniki tak, by wśród nich pojawił się szukany dzielnik — najczęściej korzystamy przy tym ze wzorów skróconego mnożenia, zwłaszcza z różnicy kwadratów:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

W tym zadaniu liczba jest różnicą czwartych potęg dwóch dużych liczb, które różnią się niewiele. Wzór na różnicę kwadratów stosujemy dwa razy, bo czwarta potęga jest kwadratem kwadratu.

Tutaj liczba jest sumą ośmiu kolejnych potęg tej samej liczby. Ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego zapisujemy ją jako iloraz, a licznik rozkładamy, kilka razy stosując wzór na różnicę kwadratów.

Tutaj liczba jest iloczynem kolejnych liczb naturalnych, a dzielnik — potęgą liczby 2, więc liczymy, ile czynników 2 zawierają razem wszystkie parzyste czynniki iloczynu.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥ 1 liczba 3n^3+18n^2+15n jest podzielna przez 6.

Zadanie

Rozwiązanie

O zadaniu

Pojęcia