Formuła 2023
Dana jest nierówność
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
AAAA
BBBB
CCCC
DDDD
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Liczba jest równa
(7⋅5)12\displaystyle \left(7 \cdot 5\right)^{ \frac{1}{2} }(7⋅5)21\displaystyle \left(7 \cdot 5\right)^{ \frac{1}{2} }
512\displaystyle 5^{ \frac{1}{2} }521\displaystyle 5^{ \frac{1}{2} }
7777
7⋅512\displaystyle 7 \cdot 5^{ \frac{1}{2} }7⋅521\displaystyle 7 \cdot 5^{ \frac{1}{2} }
Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach
(−14)\displaystyle \left(- \frac{1}{4} \right)(−41)\displaystyle \left(- \frac{1}{4} \right)
(−12)\displaystyle \left(- \frac{1}{2} \right)(−21)\displaystyle \left(- \frac{1}{2} \right)
(14)\displaystyle \left( \frac{1}{4} \right)(41)\displaystyle \left( \frac{1}{4} \right)
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej liczba jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Wartość wyrażenia jest równa
13\displaystyle \frac{1}{3} 31\displaystyle \frac{1}{3}
(−13)\displaystyle \left( -\frac{1}{3} \right)(−31)\displaystyle \left( -\frac{1}{3} \right)
3333
(−3)\left(-3\right)(−3)\left(-3\right)
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
(−23)\left(-2\sqrt{3}\right)(−23)\left(-2\sqrt{3}\right)
0000
6666
838\sqrt{3}838\sqrt{3}
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Dla każdej liczby rzeczywistej różnej od wartość wyrażenia jest równa wartości wyrażenia
1x\displaystyle \frac{1}{x} x1\displaystyle \frac{1}{x}
1−x2x\displaystyle \frac{1-x}{2x} 2x1−x\displaystyle \frac{1-x}{2x}
1−2x22x\displaystyle \frac{1-2x^2}{2x} 2x1−2x2\displaystyle \frac{1-2x^2}{2x}
−12x\displaystyle - \frac{1}{2x} −2x1\displaystyle - \frac{1}{2x}
Wyrażenia wymierne
Równanie w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
jedno rozwiązanie.
dwa rozwiązania.
trzy rozwiązania.
cztery rozwiązania.
Równania wymierne
Rozwiąż równanie
Równania wielomianowe – postać ogólna
W kartezjańskim układzie współrzędnych , punkt jest punktem przecięcia prostych o równaniach
2𝑥+3𝑦=22𝑥 + 3𝑦 = 22x+3y=22𝑥 + 3𝑦 = 2 i −𝑥+𝑦=−14−𝑥 + 𝑦 = −14 −x+y=−14−𝑥 + 𝑦 = −14
3𝑥+2𝑦=−123𝑥 + 2𝑦 = −123x+2y=−123𝑥 + 2𝑦 = −12 i 2𝑥+𝑦=102𝑥 + 𝑦 = 102x+y=102𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥+𝑦=−2𝑥 + 𝑦 = −2x+y=−2𝑥 + 𝑦 = −2 i 𝑥−2𝑦=4𝑥 − 2𝑦 = 4x−2y=4𝑥 − 2𝑦 = 4
𝑥−𝑦=−14𝑥 − 𝑦 = −14x−y=−14𝑥 − 𝑦 = −14 i −2𝑥+𝑦=22−2𝑥 + 𝑦 = 22−2x+y=22−2𝑥 + 𝑦 = 22
Punkt przecięcia prostych
Miejscem zerowym funkcji liniowej jest liczba . Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt .
Wzór funkcji ma postać
f(x)=−12x+1\displaystyle f(x)=- \frac{1}{2}x+1 f(x)=−21x+1\displaystyle f(x)=- \frac{1}{2}x+1
f(x)=−13x+13\displaystyle f(x)=- \frac{1}{3}x+ \frac{1}{3} f(x)=−31x+31\displaystyle f(x)=- \frac{1}{3}x+ \frac{1}{3}
f(x)=−2x+2f(x)=-2x+2f(x)=−2x+2f(x)=-2x+2
f(x)=−3x+1f(x)=-3x+1f(x)=−3x+1f(x)=-3x+1
Prosta przechodząca przez dwa punkty
Funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej wzorem , gdzie jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek .
Wartość współczynnika we wzorze tej funkcji jest równa
(−4)\left(-4\right)(−4)\left(-4\right)
4444
Funkcja wymierna (homograficzna)
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem . Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba .
Drugim miejscem zerowym funkcji jest liczba
(−29)\left(-29\right)(−29)\left(-29\right)
(−23)\left(-23\right)(−23)\left(-23\right)
23232323
29292929
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej
W kartezjańskim układzie współrzędnych narysowano wykres funkcji (zobacz rysunek).
Funkcja jest rosnąca w przedziale
[−1,4]\left[-1,4\right][−1,4]\left[-1,4\right]
[5,7]\left[5,7\right][5,7]\left[5,7\right]
[−8,−6]\left[-8,-6\right][−8,−6]\left[-8,-6\right]
[1,6]\left[1,6\right][1,6]\left[1,6\right]
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Zapisz w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości większe od .
Funkcja jest określona za pomocą funkcji następująco: dla każdego . Na jednym z rysunków przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych , wykres funkcji .
Wykres funkcji przedstawiono na rysunku
Symetrie
Funkcje oraz są określone dla każdej liczby rzeczywistej . Wzory tych funkcji podano poniżej.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F.
Przedział jest zbiorem wartości funkcji
A(x)=−(x−3)2+2A(x)=-\left(x-3\right)^2+2A(x)=−(x−3)2+2A(x)=-\left(x-3\right)^2+2
B(x)=x2+2B(x)=x^2+2B(x)=x2+2B(x)=x^2+2
C(x)=−5(x−2)2C(x)=-5\left(x-2\right)^2C(x)=−5(x−2)2C(x)=-5\left(x-2\right)^2
D(x)=(x−2)2D(x)=\left(x-2\right)^2D(x)=(x−2)2D(x)=\left(x-2\right)^2
E(x)=2x2−8x+10E(x)=2x^2-8x+10E(x)=2x2−8x+10E(x)=2x^2-8x+10
F(x)=−2x2+4xF(x)=-2x^2+4xF(x)=−2x2+4xF(x)=-2x^2+4x
Zbiór wartości funkcji kwadratowej
Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Trzeci wyraz tego ciągu jest równy
2222
(−2)\left(-2\right)(−2)\left(-2\right)
(−1)\left(-1\right)(−1)\left(-1\right)
Obliczanie wyrazu ciągu
Dany jest ciąg geometryczny , określony dla każdej liczby naturalnej . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy , natomiast iloraz ciągu jest równy .
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Wyraz jest liczbą ujemną.
P
F
Różnica jest równa .
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Ciąg jest arytmetyczny. Oblicz .
Charakteryzacja ciągu arytmetycznego
Kąt jest ostry i . Sinus kąta jest równy
2449\displaystyle \frac{24}{49} 4924\displaystyle \frac{24}{49}
57\displaystyle \frac{5}{7} 75\displaystyle \frac{5}{7}
2549\displaystyle \frac{25}{49} 4925\displaystyle \frac{25}{49}
67\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{7} 76\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{7}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Trapez , o polu równym i obwodzie , jest podobny do trapezu . Pole trapezu jest równe . Obwód trapezu jest równy
18181818
9999
1699\displaystyle \frac{169}{9} 9169\displaystyle \frac{169}{9}
523\displaystyle \frac{52}{3} 352\displaystyle \frac{52}{3}
Podobieństwo figur (stosunki pól i obwodów)
Koło ma promień równy . Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym jest równy
34π\displaystyle \frac{3}{4}\pi 43π\displaystyle \frac{3}{4}\pi
12π\displaystyle \frac{1}{2}\pi 21π\displaystyle \frac{1}{2}\pi
34π+6\displaystyle \frac{3}{4}\pi +643π+6\displaystyle \frac{3}{4}\pi +6
12π+6\displaystyle \frac{1}{2}\pi+6 21π+6\displaystyle \frac{1}{2}\pi+6
Łuk okręgu, wycinek i odcinek koła, wzajemne położenie dwóch okręgów
W okręgu kąt środkowy oraz kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Kąt ma miarę o większą od kąta .
Miara kąta jest równa
40∘40^\circ 40∘40^\circ
80∘80^\circ 80∘80^\circ
100∘100^\circ 100∘100^\circ
120∘120^\circ 120∘120^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
W trójkącie długość boku jest równa , a długość boku jest równa . Dwusieczna kąta przecina bok w punkcie .
Stosunek jest równy
4:34:34:34:3
4:74:74:74:7
3:43:43:43:4
3:73:73:73:7
Twierdzenie o dwusiecznej w trójkącie
Dany jest trapez równoramienny , w którym podstawa ma długość , ramię ma długość , a kąty oraz mają miarę (zobacz rysunek).
Oblicz pole tego trapezu.
Trapez równoramienny
W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są prosta o równaniu oraz punkt .
Prosta przechodząca przez punkt i równoległa do prostej ma równanie
y=−34x+8\displaystyle y=- \frac{3}{4}x+8 y=−43x+8\displaystyle y=- \frac{3}{4}x+8
y=34x−10\displaystyle y= \frac{3}{4}x-10 y=43x−10\displaystyle y= \frac{3}{4}x-10
y=43x−17\displaystyle y= \frac{4}{3}x-17 y=34x−17\displaystyle y= \frac{4}{3}x-17
y=−43x+15\displaystyle y=- \frac{4}{3}x+15 y=−34x+15\displaystyle y=- \frac{4}{3}x+15
Proste równoległe
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest okrąg o środku i promieniu .
Okrąg jest określony równaniem
(x−1)2+(y+2)2=9\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=9(x−1)2+(y+2)2=9\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=9
(x−1)2+(y+2)2=3\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=3(x−1)2+(y+2)2=3\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=3
(x+1)2+(y−2)2=9\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=9(x+1)2+(y−2)2=9\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=9
(x+1)2+(y−2)2=3\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=3(x+1)2+(y−2)2=3\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=3
Równanie okręgu
W kartezjańskim układzie współrzędnych proste o równaniach:
przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta .
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Trójkąt jest
A,1A,1A,1A,1
A,2A,2A,2A,2
A,3A,3A,3A,3
B,1B,1B,1B,1
B,2B,2 B,2B,2
B,3B,3B,3B,3
Proste prostopadłe
W kartezjańskim układzie współrzędnych punkt jest wierzchołkiem równoległoboku . Punkt jest środkiem symetrii tego równoległoboku.
Długość przekątnej równoległoboku jest równa
5\sqrt{5}5\sqrt{5}
252\sqrt{5}252\sqrt{5}
353\sqrt{5}353\sqrt{5}
656\sqrt{5}656\sqrt{5}
Równoległobok w układzie współrzędnych
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
216+183216+18\sqrt{3}216+183216+18\sqrt{3}
216+543216+54\sqrt{3}216+543216+54\sqrt{3}
216+2163216+216\sqrt{3}216+2163216+216\sqrt{3}
216+1083216+108\sqrt{3}216+1083216+108\sqrt{3}
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą . Cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa jest równy
25\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}} 52\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}
15\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}} 51\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}
32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} 23\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest
9⋅10⋅10⋅10⋅109 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 109⋅10⋅10⋅10⋅109 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10
9⋅9⋅9⋅99 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 99⋅9⋅9⋅99 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9
10⋅9⋅8⋅710 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 710⋅9⋅8⋅710 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7
9⋅9⋅8⋅79 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 79⋅9⋅8⋅79 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Ze zbioru pięciu liczb losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku.
Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa
5 690 zł5\ 690\ \text{zł}5 690 zł5\ 690\ \text{zł}
5 280 zł5\ 280\ \text{zł}5 280 zł5\ 280\ \text{zł}
6 257 zł6\ 257\ \text{zł}6 257 zł6\ 257\ \text{zł}
5 900 zł5\ 900\ \text{zł}5 900 zł5\ 900\ \text{zł}
Średnia arytmetyczna / ważona
Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:
przychód (w złotych) ze sprzedaży krzeseł można opisać funkcją
koszt (w złotych) produkcji krzeseł dziennie można opisać funkcją
Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej krzeseł.
Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.
Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.
Optymalizacja (funkcja kwadratowa)
