Potęga o wykładniku wymiernym

Definicja 1

Potęga o wykładniku wymiernym

Niech $a>0$ a>0 oraz $n\in \mathbb{N_+}$ n\in \mathbb{N_+}, $n>1$ n>1, $m\in\mathbb{Z}$ m\in\mathbb{Z}. Wówczas

a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m

gdzie w szczególności dla $m=1$ m=1:

a^{ \frac{1}{n} }=\sqrt[n]{a}

Uwaga 1

Wykładnik $\frac{1}{2}$ \frac{1}{2} i $\frac{1}{3}$ \frac{1}{3}

Zauważ, że potęgi $a^{\frac{1}{2}}$ a^{\frac{1}{2}} oraz $\displaystyle a^\frac{1}{3}$ \displaystyle a^\frac{1}{3} odpowiadają odpowiednio pierwiastkowi kwadratowemu $\sqrt{a}$ \sqrt{a} oraz pierwiastkowi sześciennemu $\sqrt[3]{a}$ \sqrt[3]{a}.

Uwaga 2

Uwaga

a^{- \frac{m}{n} }=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{-m}= \frac{1}{a^{ \frac{m}{n} }}

a^{ \frac{1}{n} }=\sqrt[n]{a}

Przykład 1

Potęgowanie

$27^\frac{2}{3}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9$ 27^\frac{2}{3}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9

Potęga o wykładniku wymiernym