Wzory skróconego mnożenia są niezwykle przydatne w matematyce, ponieważ upraszczają przeprowadzanie dowodów oraz przekształcenia algebraiczne . Stosujemy je w sytuacjach, gdy chcemy przekształcić iloczyn wyrażeń w nawiasach na sumę algebraiczną lub odwrotnie – gdy istnieje potrzeba zapisu skomplikowanych sum algebraicznych w postaci iloczynu prostszych wyrażeń w nawiasach . Dzięki nim obliczenia stają się bardziej przejrzyste i efektywne, co jest szczególnie cenne w rozwiązywaniu równań, nierówności czy dowodzeniu twierdzeń.
Na karcie wzorów maturalnych!*
Dla dowolnych liczb a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2 Na karcie wzorów maturalnych!*
Dla dowolnych liczb a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2 Na karcie wzorów maturalnych!*
Dla dowolnych liczb a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
Na karcie wzorów maturalnych!*
Dla dowolnych liczb a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 Na karcie wzorów maturalnych!*
Dla dowolnych liczb a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
Na karcie wzorów maturalnych!*
Dla dowolnych liczb a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 - ab + b^2) a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 - ab + b^2) Na karcie wzorów maturalnych!*
Dla dowolnych liczb a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
Dla dowolnych liczb a , b , c ∈ R a,b,c\in\mathbb{R}
a , b , c ∈ R a,b,c\in\mathbb{R}
( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( a b + a c + b c ) (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + a c + b c ) (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
Na karcie wzorów maturalnych!*
Dla dowolnych liczb a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + … + a b n − 2 + b n − 1 ) \begin{aligned}
a^n-b^n&=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1})
\end{aligned} a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + … + a b n − 2 + b n − 1 ) \begin{aligned}
a^n-b^n&=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1})
\end{aligned}
Na karcie wzorów maturalnych!*
Dla dowolnych liczb a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R}
a n − 1 = ( a − 1 ) ( a n − 1 + a n − 2 + ⋯ + a + 1 ) \begin{aligned}
a^n - 1 &= (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)
\end{aligned} a n − 1 = ( a − 1 ) ( a n − 1 + a n − 2 + ⋯ + a + 1 ) \begin{aligned}
a^n - 1 &= (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)
\end{aligned} Zbierając wszystkie powyższe wzory skróconego do jednego Twierdzenia otrzymujemy:
Na karcie wzorów maturalnych!*
Dla dowolnych liczb a , b , c ∈ R a,b,c\in\mathbb{R}
a , b , c ∈ R a,b,c\in\mathbb{R}
Dodatkowo:
a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + … + a b n − 2 + b n − 1 ) a n − 1 = ( a − 1 ) ( a n − 1 + a n − 2 + ⋯ + a + 1 ) \begin{aligned}
a^n-b^n&=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1})\\
a^n - 1 &= (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)
\end{aligned} a n − b n a n − 1 = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + … + a b n − 2 + b n − 1 ) = ( a − 1 ) ( a n − 1 + a n − 2 + ⋯ + a + 1 ) \begin{aligned}
a^n-b^n&=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1})\\
a^n - 1 &= (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)
\end{aligned}
Wzory skróconego mnożenia można również wyprowadzić z dwumianu Newtona .
Na karcie wzorów maturalnych!*
Dla dowolnego n ∈ N n\in\mathbb{N} n ∈ N n\in\mathbb{N} dwumianem Newtona :
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = ( n 0 ) x n y 0 + ( n 1 ) x n − 1 y 1 + ( n 2 ) x n − 2 y 2 + … + ( n n − 1 ) x 1 y n − 1 + ( n n ) x 0 y n \begin{align*}
(x+y)^n&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k\\&=\binom{n}{0}x^ny^0+\binom{n}{1}x^{n-1}y^1+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+\ldots+\\ &\ \ \ \ \ \binom{n}{n-1}x^1y^{n-1}+\binom{n}{n}x^0y^n
\end{align*} ( x + y ) n = k = 0 ∑ n ( k n ) x n − k y k = ( 0 n ) x n y 0 + ( 1 n ) x n − 1 y 1 + ( 2 n ) x n − 2 y 2 + … + ( n − 1 n ) x 1 y n − 1 + ( n n ) x 0 y n \begin{align*}
(x+y)^n&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k\\&=\binom{n}{0}x^ny^0+\binom{n}{1}x^{n-1}y^1+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+\ldots+\\ &\ \ \ \ \ \binom{n}{n-1}x^1y^{n-1}+\binom{n}{n}x^0y^n
\end{align*} oraz
( x − y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k ( − y ) k = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) x n − k y k = ( n 0 ) x n y 0 − ( n 1 ) x n − 1 y 1 + ( n 2 ) x n − 2 y 2 − … + ( − 1 ) k ( n k ) x n − k y k + … + ( − 1 ) n ( n n ) x 0 y n \begin{align*}
(x-y)^n&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}(-y)^k\\
&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}y^k\\
&=\binom{n}{0}x^ny^0-\binom{n}{1}x^{n-1}y^1+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2-\ldots+\\
&\quad\ \ (-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}y^k+\ldots+
(-1)^n\binom{n}{n}x^0y^n
\end{align*} ( x − y ) n = k = 0 ∑ n ( k n ) x n − k ( − y ) k = k = 0 ∑ n ( − 1 ) k ( k n ) x n − k y k = ( 0 n ) x n y 0 − ( 1 n ) x n − 1 y 1 + ( 2 n ) x n − 2 y 2 − … + ( − 1 ) k ( k n ) x n − k y k + … + ( − 1 ) n ( n n ) x 0 y n \begin{align*}
(x-y)^n&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}(-y)^k\\
&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}y^k\\
&=\binom{n}{0}x^ny^0-\binom{n}{1}x^{n-1}y^1+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2-\ldots+\\
&\quad\ \ (-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}y^k+\ldots+
(-1)^n\binom{n}{n}x^0y^n
\end{align*} gdzie liczby ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} ( k n ) = k ! ( n − k )! n ! \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} współczynnikiem rozwinięcia dwumianu Newtona.
Na karcie wzorów maturalnych!*
Zachodzą następującego własności:
Dla dowolnego n ∈ N n\in\mathbb{N} n ∈ N n\in\mathbb{N}
( n 0 ) = 1 , ( n n ) = 1 \binom{n}{0}=1,\quad\binom{n}{n}=1 ( 0 n ) = 1 , ( n n ) = 1 \binom{n}{0}=1,\quad\binom{n}{n}=1
Dla dowolnych n , k ∈ N n,k\in\mathbb{N} n , k ∈ N n,k\in\mathbb{N} k ≤ n k\le n k ≤ n k\le n
( n k ) = ( n n − k ) \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} ( k n ) = ( n − k n ) \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}
Dla dowolnych n , k ∈ N n,k\in\mathbb{N} n , k ∈ N n,k\in\mathbb{N} k ≤ n − 1 k\le n-1 k ≤ n − 1 k\le n-1
( n k ) = ( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} ( k n ) = ( k − 1 n − 1 ) + ( k n − 1 ) \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} Dwumian Newtona można zobrazować za pomocą Trójkąta Pascala .
Trójkąt Pascala to układ liczb w kształcie trójkąta, w którym każda liczba jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią w poprzednim wierszu.
Pierwszy wiersz zawiera tylko jedną liczbę: 1 1 1 1
Zauważ że trójkąt Pascala powstaje w wyniku zastosowania własności symbolu Newtona:
ponieważ zachodzi:
( n 0 ) = 1 , ( n n ) = 1 \binom{n}{0}=1,\quad\binom{n}{n}=1 ( 0 n ) = 1 , ( n n ) = 1 \binom{n}{0}=1,\quad\binom{n}{n}=1 to na brzegach trójkąta znajdują się jedynki
ponieważ zachodzi:
( n k ) = ( n n − k ) \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} ( k n ) = ( n − k n ) \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} to punkty które są jednakowo odległe od brzegów mają tę samą wartość
ponieważ zachodzi:
( n k ) = ( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} ( k n ) = ( k − 1 n − 1 ) + ( k n − 1 ) \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} to każdy współczynnik jest sumą dwóch współczynników znajdujących się bezpośrednio nad nim.
Rys. 1. Wzory skróconego mnożenia.
usuwanie niewymierności z mianownika:
2 3 − 5 = 2 ( 3 − 5 ) ( 3 − 5 ) ( 3 + 5 ) = 6 − 2 5 3 2 − 5 2 = 6 − 2 5 4 = 3 − 5 2 \begin{aligned}\frac{2}{3-\sqrt{5}}&=\frac{2(3-\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}\\&=\frac{6-2\sqrt{5}}{3^2-\sqrt{5}^2}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\\&=\frac{3-\sqrt{5}}{2}
\end{aligned} 3 − 5 2 = ( 3 − 5 ) ( 3 + 5 ) 2 ( 3 − 5 ) = 3 2 − 5 2 6 − 2 5 = 4 6 − 2 5 = 2 3 − 5 \begin{aligned}\frac{2}{3-\sqrt{5}}&=\frac{2(3-\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}\\&=\frac{6-2\sqrt{5}}{3^2-\sqrt{5}^2}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\\&=\frac{3-\sqrt{5}}{2}
\end{aligned}
upraszczanie wyrażeń:
( 2 − 7 ) 2 + ( 7 − 2 ) 2 = 4 − 4 7 + 7 + 7 − 4 7 + 4 = 22 \begin{aligned}
(2-\sqrt{7})^2+(\sqrt{7}-2)^2&=4-4\sqrt{7}+7+7-4\sqrt{7}+4\\&=22
\end{aligned} ( 2 − 7 ) 2 + ( 7 − 2 ) 2 = 4 − 4 7 + 7 + 7 − 4 7 + 4 = 22 \begin{aligned}
(2-\sqrt{7})^2+(\sqrt{7}-2)^2&=4-4\sqrt{7}+7+7-4\sqrt{7}+4\\&=22
\end{aligned}
zamiana sumy algebraicznej na iloczyn (+znajdywanie miejsc zerowych funkcji):
x 3 + 6 x 2 + 12 x − 4 = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 − 12 = ( x + 2 ) 3 − 12 \begin{aligned}
x^3+6x^2+12x-4&=x^3+6x^2+12x+8-12\\
&=(x+2)^3-12
\end{aligned} x 3 + 6 x 2 + 12 x − 4 = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 − 12 = ( x + 2 ) 3 − 12 \begin{aligned}
x^3+6x^2+12x-4&=x^3+6x^2+12x+8-12\\
&=(x+2)^3-12
\end{aligned} Szukając miejsc zerowych rozwiązujemy:
( x + 2 ) 3 = 12 ⟺ x + 2 = 12 3 (x+2)^3=12\iff x+2=\sqrt[3]{12} ( x + 2 ) 3 = 12 ⟺ x + 2 = 3 12 (x+2)^3=12\iff x+2=\sqrt[3]{12} a stąd
x = 12 3 − 2 x=\sqrt[3]{12}-2 x = 3 12 − 2 x=\sqrt[3]{12}-2
