Wzory skróconego mnożenia są niezwykle przydatne w matematyce, ponieważ upraszczają przeprowadzanie dowodów oraz przekształcenia algebraiczne. Stosujemy je w sytuacjach, gdy chcemy przekształcić iloczyn wyrażeń w nawiasach na sumę algebraiczną lub odwrotnie – gdy istnieje potrzeba zapisu skomplikowanych sum algebraicznych w postaci iloczynu prostszych wyrażeń w nawiasach. Dzięki nim obliczenia stają się bardziej przejrzyste i efektywne, co jest szczególnie cenne w rozwiązywaniu równań, nierówności czy dowodzeniu twierdzeń.

Twierdzenie 1

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy

Dla dowolnych liczb a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2

Twierdzenie 2

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

Dla dowolnych liczb a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

(a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2

Twierdzenie 3

Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

Dla dowolnych liczb a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Twierdzenie 4

Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy

Dla dowolnych liczb a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Twierdzenie 5

Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy

Dla dowolnych liczb a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Twierdzenie 6

Wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów

Dla dowolnych liczb a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 - ab + b^2)

Twierdzenie 7

Wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów

Dla dowolnych liczb a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

Twierdzenie 8

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech składników

Dla dowolnych liczb a,b,c\in\mathbb{R} zachodzi:

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)

Twierdzenie 9

Wzór skróconego mnożenia na różnicę potęg

Dla dowolnych liczb a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

\begin{aligned} a^n-b^n&=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1}) \end{aligned}

Twierdzenie 10

Wzór skróconego mnożenia na różnicę jednostkową potęg

Dla dowolnych liczb a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

\begin{aligned} a^n - 1 &= (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1) \end{aligned}

Zbierając wszystkie powyższe wzory skróconego do jednego Twierdzenia otrzymujemy:

Twierdzenie 11

Wzory skróconego mnożenia

Dla dowolnych liczb a,b,c\in\mathbb{R} zachodzi:

Kwadrat sumy
(a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2
Kwadrat różnicy
(a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2
Różnica kwadratów
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
Różnica sześcianów
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
Suma sześcianów
a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 - ab + b^2)
Sześcian sumy
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Sześcian różnicy
(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
Kwadrat sumy trzech składników
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)

Dodatkowo:

\begin{aligned} a^n-b^n&=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1})\\ a^n - 1 &= (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1) \end{aligned}

Wzory skróconego mnożenia można również wyprowadzić z dwumianu Newtona.

Twierdzenie 12

Dwumian Newtona

Dla dowolnego n\in\mathbb{N} prawdziwy jest następujący wzór zwany dwumianem Newtona:

\begin{align*} (x+y)^n&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k\\&=\binom{n}{0}x^ny^0+\binom{n}{1}x^{n-1}y^1+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+\ldots+\\ &\ \ \ \ \ \binom{n}{n-1}x^1y^{n-1}+\binom{n}{n}x^0y^n \end{align*}

oraz

\begin{align*} (x-y)^n&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}(-y)^k\\ &=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}y^k\\ &=\binom{n}{0}x^ny^0-\binom{n}{1}x^{n-1}y^1+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2-\ldots+\\ &\quad\ \ (-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}y^k+\ldots+ (-1)^n\binom{n}{n}x^0y^n \end{align*}

gdzie liczby \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} nazywamy współczynnikiem rozwinięcia dwumianu Newtona.

Twierdzenie 13

Własności symbolu Newtona

Zachodzą następującego własności:

Dla dowolnego n\in\mathbb{N}:
\binom{n}{0}=1,\quad\binom{n}{n}=1
Dla dowolnych n,k\in\mathbb{N}, k\le n:
\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}
Dla dowolnych n,k\in\mathbb{N}, k\le n-1:
\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}

Dwumian Newtona można zobrazować za pomocą Trójkąta Pascala.

Definicja 1

Trójkąt Pascala

Trójkąt Pascala to układ liczb w kształcie trójkąta, w którym każda liczba jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią w poprzednim wierszu.

Pierwszy wiersz zawiera tylko jedną liczbę: 1. Każdy kolejny wiersz zaczyna się i kończy jedynką, a pozostałe wartości są sumą dwóch sąsiednich liczb z poprzedniego wiersza.

Uwaga 1

Uwaga

Zauważ że trójkąt Pascala powstaje w wyniku zastosowania własności symbolu Newtona:

ponieważ zachodzi:
\binom{n}{0}=1,\quad\binom{n}{n}=1
to na brzegach trójkąta znajdują się jedynki
ponieważ zachodzi:
\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}
to punkty które są jednakowo odległe od brzegów mają tę samą wartość
ponieważ zachodzi:
\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
to każdy współczynnik jest sumą dwóch współczynników znajdujących się bezpośrednio nad nim.

Przykład 1

Przykłady zastosowań wzorów skróconego mnożenia

usuwanie niewymierności z mianownika:
\begin{aligned}\frac{2}{3-\sqrt{5}}&=\frac{2(3-\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}\\&=\frac{6-2\sqrt{5}}{3^2-\sqrt{5}^2}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\\&=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{aligned}
upraszczanie wyrażeń:
\begin{aligned} (2-\sqrt{7})^2+(\sqrt{7}-2)^2&=4-4\sqrt{7}+7+7-4\sqrt{7}+4\\&=22 \end{aligned}
zamiana sumy algebraicznej na iloczyn (+znajdywanie miejsc zerowych funkcji):
\begin{aligned} x^3+6x^2+12x-4&=x^3+6x^2+12x+8-12\\ &=(x+2)^3-12 \end{aligned}
Szukając miejsc zerowych rozwiązujemy:
(x+2)^3=12\iff x+2=\sqrt[3]{12}
a stąd
x=\sqrt[3]{12}-2