Granica ciągu

Granicą ciągu $(a_n)$(a_n) nazywamy taką liczbę $g\in\mathbb{R}$g\in\mathbb{R}, że dla dowolnego $\epsilon>0$\epsilon>0 istnieje liczba naturalna $k$k taka, że dla wszystkich $n>k$n>k spełniona jest nierówność:

tj. od pewnego miejsca prawie wszystkie wyrazy ciągu $a_n$a_n leżą w odległości mniejszej od $\varepsilon$\varepsilon od liczby $g$g.

Jeżeli ciąg $(a_n)$(a_n) ma granicę $g$g to mówimy że jest on zbieżny do $g$g i zapisujemy:

lub

Jeśli granica nie istnieje to mówimy, że ciąg $(a_n)$(a_n) jest rozbieżny.

Granice wybranych ciągów możemy z łatwością wyznaczyć dostrzegając zachowanie kolejnych wyrazów ciągu:

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n=\infty oraz $\lim_{n\to \infty}(-n)$\lim_{n\to \infty}(-n)

  $$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|cl} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &\to \infty\\ \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &\to \infty\\ \hline -n & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 &\to -\infty\\ \end{array}$$

  \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|cl} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &\to \infty\\ \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &\to \infty\\ \hline -n & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 &\to -\infty\\ \end{array}(0)

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty }\frac{1}{n}=0$\displaystyle \lim_{n\to\infty }\frac{1}{n}=0 oraz $\displaystyle \lim_{n\to\infty }\frac{1}{-n}=0$\displaystyle \lim_{n\to\infty }\frac{1}{-n}=0

  $$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline \frac{1}{n} & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \to 0\\ \hline - \frac{1}{n} & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{5} \to 0\\ \end{array}$$

  \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline \frac{1}{n} & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \to 0\\ \hline - \frac{1}{n} & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{5} \to 0\\ \end{array}(0)

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n+2} = 1$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n+2} = 1

  $$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline \frac{n+1}{n+2} & \frac{2}{3} & \frac{3}{4} & \frac{4}{5} & \frac{5}{6} & \frac{6}{7} \to 1\\ \end{array}$$

  \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline \frac{n+1}{n+2} & \frac{2}{3} & \frac{3}{4} & \frac{4}{5} & \frac{5}{6} & \frac{6}{7} \to 1\\ \end{array}(0)

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}3^{n}=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}3^{n}=\infty

  $$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline 3^n & 3 & 9 & 27 & 81 & 243 \to \infty\\ \end{array}$$

  \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline 3^n & 3 & 9 & 27 & 81 & 243 \to \infty\\ \end{array}(0)

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left( \frac{1}{2} \right)^{n}=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left( \frac{1}{2} \right)^{n}=\infty

  $$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline \left(\frac{1}{2}\right)^n & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{32} \to 0\\ \end{array}$$

  \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline \left(\frac{1}{2}\right)^n & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{32} \to 0\\ \end{array}(0)

  
  

W podobny sposób możemy uzasadnić granice innych prostych ciągów:

Wyrażenie $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=g$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=g czytamy: “granica ciągu $a_n$a_n przy $n$n dążącym do do nieskończoności jest równa $g$g”

W matematyce często mówimy, że dana własność zachodzi dla prawie wszystkich z rozważanych elementów. W kontekście ciągów, przez prawie wszystkie elementy ciągu mamy na myśli wszystkie elementy tego ciągu od pewnego ustalonego $n$n.

Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.

Jeżeli w ciągu $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) istnieją dwa podciągu zbieżne do różnic granic, to ciąg $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) jest rozbieżny.

• Dla $a\in\mathbb{R}$a\in\mathbb{R}:

  $$\lim_{x\to\infty}\frac{a}{n}=0$$

  \lim_{x\to\infty}\frac{a}{n}=0 (0)

• Dla $q\in(-1,1)$q\in(-1,1)

  $$\lim_{n\to\infty}q^n=0$$

  \lim_{n\to\infty}q^n=0(0)

• Dla $a\in(0,\infty)$a\in(0,\infty)

  $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$$

  \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1(0)

• $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1$$

  \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1(0)

• Dla $k>0$k>0

  $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^k}=0$$

  \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^k}=0(0)

• Dla $q>1$q>1

  $$\lim_{n\to\infty}q^n=\infty$$

  \lim_{n\to\infty}q^n=\infty(0)

• Dla $k>0$k>0

  $$\lim_{n\to\infty}n^k=\infty$$

  \lim_{n\to\infty}n^k=\infty(0)

• $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$

  \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1 (0)

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n}=e$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n}=e

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} =e$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} =e

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+ \frac{a}{n} \right)=e^{a}$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+ \frac{a}{n} \right)=e^{a}

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1- \frac{1}{n} \right)= \frac{1}{e}$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1- \frac{1}{n} \right)= \frac{1}{e}

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a^{n}}{n!}=0$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a^{n}}{n!}=0

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n}=0$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n}=0

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=a$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=a oraz $a_n\ge0$a_n\ge0 dla dowolnego $n\in\mathbb{N_+}$n\in\mathbb{N_+}, to $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt{a_n}=\sqrt{a}$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt{a_n}=\sqrt{a}.

Mówimy, że ciąg $(a_n)$(a_n) jest rozbieżny do $+\infty$+\infty $(-\infty)$(-\infty), jeżeli dla dowolnej liczby $M$M istnieje liczba naturalna $k$k taka, że dla wszystkich $n>k$n>k zachodzi nierówność $a_n>M$a_n>M $(a_n<M)$(a_n<M).

Mówimy, że ciąg $(a_n)$(a_n) ma granicę niewłaściwą $+\infty$+\infty $(-\infty)$(-\infty).

Jeżeli $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a oraz $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=b$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=b, gdzie $a,b,\in\mathbb{R}$a,b,\in\mathbb{R}, to ciągi $\left(a_n+b_n\right)$\left(a_n+b_n\right), $\left(a_n-b_n\right)$\left(a_n-b_n\right), $\left(a_n \cdot b_n\right)$\left(a_n \cdot b_n\right) oraz $\displaystyle \left( \frac{a_n}{b_n} \right)$\displaystyle \left( \frac{a_n}{b_n} \right) (o ile dodatkowo $b\neq 0$b\neq 0 i $b_n\neq0$b_n\neq0) również są zbieżne oraz zachodzą następujące równości:

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(c\cdot a_n)=c\cdot a,\quad \text{ gdzie } c\in\mathbb{R}$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(c\cdot a_n)=c\cdot a,\quad \text{ gdzie } c\in\mathbb{R}

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n + \lim_{n\to\infty}b_n=a+b$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n + \lim_{n\to\infty}b_n=a+b

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n -\lim_{n\to\infty}b_n=a-b$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n -\lim_{n\to\infty}b_n=a-b

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n \cdot\lim_{n\to\infty}b_n=a\cdot b$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n \cdot\lim_{n\to\infty}b_n=a\cdot b

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n} =\frac{a}{b},\quad \text{ gdzie } b\neq0,b_n\neq0 \text{ dla }n\in\mathbb{N_+}$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n} =\frac{a}{b},\quad \text{ gdzie } b\neq0,b_n\neq0 \text{ dla }n\in\mathbb{N_+}

Niech dane będą ciągi nieskończone $(a_n),(b_n)$(a_n),(b_n) oraz $(c_n)$(c_n). Jeżeli istnieje $\delta>0$\delta>0 taka, że dla dowolnego $n>\delta$n>\delta spełniona jest nierówność:

oraz $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=g$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=g, to $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=g$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=g.

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty oraz $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\infty to:

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\infty

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty oraz $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=b$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=b to:

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\pm \infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\pm \infty $(b\neq0)$(b\neq0)

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\pm \infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\pm \infty $(b\neq0)$(b\neq0)

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb{R}$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb{R} oraz $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\pm\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\pm\infty, gdzie $b_n\neq 0$b_n\neq 0 dla $n\in\mathbb{N_+}$n\in\mathbb{N_+}, to:

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=0$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=0

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty oraz $a_n\ge 0$a_n\ge 0 dla $n\in\mathbb{N_+}$n\in\mathbb{N_+}, to

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=+\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=+\infty, to

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0, to

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0, to

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a to

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=0$\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=0 to

Niech dane będą wielomiany $w(x)$w(x) i $w(x)$w(x) stopni $p$p i $q$q odpowiednio, postaci:

Wówczas

Może się zdarzyć, że przyjdzie nam obliczyć wartość wyrażenia w którym występuje symbol nieskończoności. Ogólnie, zachodzą następujące równości:

• $\infty+\infty=\infty$\infty+\infty=\infty

• $\infty \cdot \infty=\infty$\infty \cdot \infty=\infty

• $\infty \cdot \left(-\infty\right)=-\infty$\infty \cdot \left(-\infty\right)=-\infty

• $\infty+c=\infty$\infty+c=\infty

• $\infty \cdot c=\infty$\infty \cdot c=\infty $(c>0)$(c>0)

• $\infty \cdot c=-\infty$\infty \cdot c=-\infty $(c<0)$(c<0)

• $\displaystyle \frac{\infty}{c}=\infty$\displaystyle \frac{\infty}{c}=\infty $(c>0)$(c>0)

• $\displaystyle \frac{\infty}{c}=-\infty$\displaystyle \frac{\infty}{c}=-\infty $(c<0)$(c<0)

Niektóre z wyrażeń mogą być nieoznaczone, co oznacza że nie można określić wyniku działania:

• $\displaystyle \frac{0}{0}$\displaystyle \frac{0}{0}

• $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$\displaystyle \frac{\infty}{\infty}

• $0 \cdot \infty$0 \cdot \infty

• $\infty-\infty$\infty-\infty

• $-\infty+\infty$-\infty+\infty

• $1^{\infty}$1^{\infty}

• $0^{0}$0^{0}

• $\infty^{0}$\infty^{0}

W przypadku gdy otrzymamy jedno z wyrażeń nieoznaczonych, należy przekształcić wyrażenie w taki sposób aby nowo otrzymane wyrażenie nie było nieoznaczone i dało się określić jego wartość.