Niech a , b ∈ R + a,b\in\mathbb{R_+} a , b ∈ R + a,b\in\mathbb{R_+} a ≠ 1 a\neq 1 a = 1 a\neq 1 p ∈ R p\in\mathbb{R} p ∈ R p\in\mathbb{R}
log a a = 1 log a 1 = 0 log a a p = p a log a b = b \begin{align*}
\log_a a&=1\\
\log _a 1 &=0\\
\log _a a^p&=p\\
a^{\log _ab} &= b
\end{align*} log a a log a 1 log a a p a l o g a b = 1 = 0 = p = b \begin{align*}
\log_a a&=1\\
\log _a 1 &=0\\
\log _a a^p&=p\\
a^{\log _ab} &= b
\end{align*} (0) Na logarytmach, tak jak na każdych innych liczbach możemy wykonywać działania dodawania, odejmowania, mnożenia czy dzielenia.
Niech a , b ∈ R + ∖ { 1 } a,b\in\mathbb{R_+}\setminus\{1\} a , b ∈ R + ∖ { 1 } a,b\in\mathbb{R_+}\setminus\{1\} x , y ∈ R + x,y\in\mathbb{R_+} x , y ∈ R + x,y\in\mathbb{R_+} p ∈ R p\in\mathbb{R} p ∈ R p\in\mathbb{R}
log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y log a x y = log a x − log a y log a x p = p log a x \begin{align*}
\log_a(x\cdot y)&=\log_a x+\log_a y\\
\log_a \frac{x}{y} &= \log_a x - \log_a y\\
\log_a x^p &=p\log _a x\\
\end{align*} log a ( x ⋅ y ) log a y x log a x p = log a x + log a y = log a x − log a y = p log a x \begin{align*}
\log_a(x\cdot y)&=\log_a x+\log_a y\\
\log_a \frac{x}{y} &= \log_a x - \log_a y\\
\log_a x^p &=p\log _a x\\
\end{align*} (0) Dodatkowo, dla n ≠ 0 n\neq 0 n = 0 n\neq 0
log a n b = 1 n ⋅ log a b log a 1 n b = n ⋅ log a b log a b = 1 log b a \begin{aligned}
\log_{a^n}b&= \frac{1}{n} \cdot \log_ab \\
\log_{a^ \frac{1}{n} }b&= n\cdot \log_ab \\
\log_ab&=\frac{1}{\log_ba}
\end{aligned} log a n b log a n 1 b log a b = n 1 ⋅ log a b = n ⋅ log a b = log b a 1 \begin{aligned}
\log_{a^n}b&= \frac{1}{n} \cdot \log_ab \\
\log_{a^ \frac{1}{n} }b&= n\cdot \log_ab \\
\log_ab&=\frac{1}{\log_ba}
\end{aligned} (0)
Zauważ, że na mnożenie i dzielenie logarytmów nie ma magicznych wzorów które ułatwiłyby nam przeprowadzanie na nich obliczeń. Wyjątkiem jest Twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu.
Jeżeli a , b , c ∈ R + a,b,c\in\mathbb{R_+} a , b , c ∈ R + a,b,c\in\mathbb{R_+} a ≠ 1 a\neq 1 a = 1 a\neq 1 c ≠ 1 c\neq 1 c = 1 c\neq 1
log a b = log c b log c a \log_ab= \frac{\log_cb}{\log_ca} log a b = log c a log c b \log_ab= \frac{\log_cb}{\log_ca} (0) Alternatywnie, jednak dla b ≠ 1 b\neq 1 b = 1 b\neq 1 c > 0 c>0 c > 0 c>0
log a b ⋅ log b c = log a c \log_ab \cdot \log_bc=\log_ac log a b ⋅ log b c = log a c \log_ab \cdot \log_bc=\log_ac (0)
Twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu przydaje się gdy chcemy obliczyć wartość logarytmu na kalkulatorze - wówczas zmieniany podstawę na 10 10 10 10
Przykłady obliczania logarytmów:
log 3 9 = 2 \log_39=2 log 3 9 = 2 \log_39=2 3 2 = 9 3^2=9 3 2 = 9 3^2=9
log 25 5 = 1 2 \displaystyle\log_{25}5=\frac{1}{2} log 25 5 = 2 1 \displaystyle\log_{25}5=\frac{1}{2} 25 1 2 = 25 = 5 25^\frac{1}{2}=\sqrt{25}=5 2 5 2 1 = 25 = 5 25^\frac{1}{2}=\sqrt{25}=5
log 1000 = 3 \log1000=3 log 1000 = 3 \log1000=3 10 3 = 1000 10^3=1000 1 0 3 = 1000 10^3=1000
log 4 1 64 = − 3 \displaystyle\log_{4}\frac{1}{64}=-3
log 4 64 1 = − 3 \displaystyle\log_{4}\frac{1}{64}=-3
4 − 3 = ( 1 4 ) 3 = 1 64 \displaystyle4^{-3}=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64} 4 − 3 = ( 4 1 ) 3 = 64 1 \displaystyle4^{-3}=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}
Zwróć uwagę, że poniższe zapisy nie są równoważne i oznaczają odpowiednio kwadrat logarytmu i logarytm z kwadratu.
log a b 2 ≠ log a 2 b = ( log a b ) 2 \log_ab^2\neq \log_a^2b=\left(\log_a b\right)^2 log a b 2 = log a 2 b = ( log a b ) 2 \log_ab^2\neq \log_a^2b=\left(\log_a b\right)^2 (0)
log 4 64 = log 4 4 3 = 3 \log_464=\log_44^3=3 log 4 64 = log 4 4 3 = 3 \log_464=\log_44^3=3
log 5 250 + log 5 1 2 = log 5 ( 250 ⋅ 1 2 ) = log 5 125 = 3 \log_5250 + \log_5 \frac{1}{2}= \log_5\left(250 \cdot \frac{1}{2} \right)=\log_5125=3 log 5 250 + log 5 2 1 = log 5 ( 250 ⋅ 2 1 ) = log 5 125 = 3 \log_5250 + \log_5 \frac{1}{2}= \log_5\left(250 \cdot \frac{1}{2} \right)=\log_5125=3
log 9 364 − log 9 4 = log 9 ( 364 : 4 ) = log 9 81 = 2 \log_9 364-\log_94=\log_9\left(364:4\right)=\log_981=2 log 9 364 − log 9 4 = log 9 ( 364 : 4 ) = log 9 81 = 2 \log_9 364-\log_94=\log_9\left(364:4\right)=\log_981=2
