Własności logarytmów

Niech $a,b\in\mathbb{R_+}$a,b\in\mathbb{R_+} oraz $a\neq 1$a\neq 1, $p\in\mathbb{R}$p\in\mathbb{R}. Wówczas

Niech $a,b\in\mathbb{R_+}\setminus\{1\}$a,b\in\mathbb{R_+}\setminus\{1\}, $x,y\in\mathbb{R_+}$x,y\in\mathbb{R_+} oraz $p\in\mathbb{R}$p\in\mathbb{R}. Wówczas

Dodatkowo, dla $n\neq 0$n\neq 0:

Zauważ, że na mnożenie i dzielenie logarytmów nie ma magicznych wzorów które ułatwiłyby nam przeprowadzanie na nich obliczeń. Wyjątkiem jest Twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu.

Jeżeli $a,b,c\in\mathbb{R_+}$a,b,c\in\mathbb{R_+} oraz $a\neq 1$a\neq 1 i $c\neq 1$c\neq 1 to:

Alternatywnie, jednak dla $b\neq 1$b\neq 1 i $c>0$c>0:

Twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu przydaje się gdy chcemy obliczyć wartość logarytmu na kalkulatorze - wówczas zmieniany podstawę na $10$10.

Przykłady obliczania logarytmów:

• $\log_39=2$\log_39=2 ponieważ $3^2=9$3^2=9.

• $\displaystyle\log_{25}5=\frac{1}{2}$\displaystyle\log_{25}5=\frac{1}{2} ponieważ $25^\frac{1}{2}=\sqrt{25}=5$25^\frac{1}{2}=\sqrt{25}=5.

• $\log1000=3$\log1000=3 ponieważ $10^3=1000$10^3=1000.

• $\displaystyle\log_{4}\frac{1}{64}=-3$\displaystyle\log_{4}\frac{1}{64}=-3 ponieważ $\displaystyle4^{-3}=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}$\displaystyle4^{-3}=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}.

Zwróć uwagę, że poniższe zapisy nie są równoważne i oznaczają odpowiednio kwadrat logarytmu i logarytm z kwadratu.

• $\log_464=\log_44^3=3$\log_464=\log_44^3=3

• $\log_5250 + \log_5 \frac{1}{2}= \log_5\left(250 \cdot \frac{1}{2} \right)=\log_5125=3$\log_5250 + \log_5 \frac{1}{2}= \log_5\left(250 \cdot \frac{1}{2} \right)=\log_5125=3

• $\log_9 364-\log_94=\log_9\left(364:4\right)=\log_981=2$\log_9 364-\log_94=\log_9\left(364:4\right)=\log_981=2