Wzory redukcyjne

Twierdzenie 1

Wzory redukcyjne kąta $90^\circ-\alpha$ 90^\circ-\alpha

Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ \alpha zachodzą następujące równości:

$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$ \sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha
$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha
$\tg(90^\circ-\alpha)=\ctg\alpha$ \tg(90^\circ-\alpha)=\ctg\alpha
$\ctg(90^\circ-\alpha)=\tg\alpha$ \ctg(90^\circ-\alpha)=\tg\alpha

Twierdzenie 2

Wzory redukcyjne kąta $90^\circ+\alpha$ 90^\circ+\alpha

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta $90^\circ +\alpha$ 90^\circ +\alpha:

Dla $a\in[0^\circ ,270^\circ ]$ a\in[0^\circ ,270^\circ ]:
$\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha$
\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha(0)
Dla $a\in[0^\circ ,270^\circ ]$ a\in[0^\circ ,270^\circ ]:
$\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$
\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha(0)
Dla $a\in(0^\circ ,180^\circ )\cup(180^\circ ,270^\circ )$ a\in(0^\circ ,180^\circ )\cup(180^\circ ,270^\circ ):
$\tg(90^\circ+\alpha)=-\ctg\alpha$
\tg(90^\circ+\alpha)=-\ctg\alpha(0)
Dla $a\in(0^\circ ,90^\circ )\cup(90^\circ ,270^\circ )$ a\in(0^\circ ,90^\circ )\cup(90^\circ ,270^\circ ):
$\ctg(90^\circ+\alpha)=-\tg\alpha$
\ctg(90^\circ+\alpha)=-\tg\alpha(0)

Twierdzenie 3

Wzory redukcyjne kąta $180^\circ-\alpha$ 180^\circ-\alpha

Dla dowolnego kąta $\alpha\in[0, 180^\circ]$ \alpha\in[0, 180^\circ] zachodzą następujące równości:

\begin{align*} \sin(180^\circ-\alpha)&=\sin\alpha\\ \cos(180^\circ-\alpha)&=-\cos\alpha\\ \tg(180^\circ-\alpha)&=-\tg\alpha\quad (\alpha \neq 90^\circ)\\ \ctg(180^\circ-\alpha)&=-\ctg\alpha\quad (\alpha \neq 0^\circ \land \alpha\neq 180^\circ) \end{align*}

(0)

Twierdzenie 4

Wzory redukcyjne kąta $180^\circ+\alpha$ 180^\circ+\alpha

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta $180^\circ +\alpha$ 180^\circ +\alpha:

Dla $a\in[0^\circ ,180^\circ ]$ a\in[0^\circ ,180^\circ ]:
$\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$
\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha(0)
Dla $a\in[0^\circ ,180^\circ ]$ a\in[0^\circ ,180^\circ ]:
$\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha$
\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha(0)
Dla $a\in[0^\circ ,90^\circ )\cup(90^\circ ,180^\circ )$ a\in[0^\circ ,90^\circ )\cup(90^\circ ,180^\circ ):
$\tg(180^\circ+\alpha)=\tg\alpha$
\tg(180^\circ+\alpha)=\tg\alpha(0)
Dla $a\in(0^\circ ,180^\circ )$ a\in(0^\circ ,180^\circ ):
$\ctg(180^\circ+\alpha)=\ctg\alpha$
\ctg(180^\circ+\alpha)=\ctg\alpha(0)

Twierdzenie 5

Wzory redukcyjne kąta $270^\circ-\alpha$ 270^\circ-\alpha

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta $270^\circ -\alpha$ 270^\circ -\alpha:

\begin{aligned} &\sin{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=-\cos{\alpha }\\ &\cos{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=-\sin{\alpha }\\ &\tg{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=\ctg{\alpha }\\ &\ctg{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=\tg{\alpha } \end{aligned}

(0)

Twierdzenie 6

Wzory redukcyjne kąta $270^\circ+\alpha$ 270^\circ+\alpha

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta $270^\circ +\alpha$ 270^\circ +\alpha:

\begin{aligned} &\sin{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\cos{\alpha }\\ &\cos{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=\sin{\alpha }\\ &\tg{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\ctg{\alpha }\\ &\ctg{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\tg{\alpha } \end{aligned}

(0)

Twierdzenie 7

Wzory redukcyjne kąta $360^\circ-\alpha$ 360^\circ-\alpha

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta $360^\circ-\alpha$ 360^\circ-\alpha:

\begin{aligned} &\sin{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\sin{\alpha }\\ &\cos{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=\cos{\alpha }\\ &\tg{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\tg{\alpha }\\ &\ctg{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\ctg{\alpha } \end{aligned}

(0)

Twierdzenie 8

Wzory redukcyjne kąta $360^\circ+\alpha$ 360^\circ+\alpha

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta $360^\circ+\alpha$ 360^\circ+\alpha:

\begin{aligned} &\sin{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\sin{\alpha }\\ &\cos{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\cos{\alpha }\\ &\tg{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\tg{\alpha }\\ &\ctg{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\ctg{\alpha } \end{aligned}

(0)

Poniższa tabela podsumowuje wzory redukcyjne dla kątów wyrażonych w mierze stopniowej i łukowej:

$\varphi$ \varphi	$-\alpha$ -\alpha	$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha$ \displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha $(90^\circ -\alpha)$ (90^\circ -\alpha)	$\displaystyle \frac{\pi}{2}+\alpha$ \displaystyle \frac{\pi}{2}+\alpha $(90^\circ +\alpha)$ (90^\circ +\alpha)	$\pi-\alpha$ \pi-\alpha $(180^\circ -\alpha)$ (180^\circ -\alpha)	$\pi+\alpha$ \pi+\alpha $(180^\circ +\alpha)$ (180^\circ +\alpha)	$\frac{3\pi}{2}-\alpha$ \frac{3\pi}{2}-\alpha (0) $(270^\circ -\alpha)$ (270^\circ -\alpha)	$\frac{3\pi}{2}+\alpha$ \frac{3\pi}{2}+\alpha (0) $(270^\circ +\alpha)$ (270^\circ +\alpha)	$2\pi-\alpha$ 2\pi-\alpha $(360^\circ -\alpha)$ (360^\circ -\alpha)
$\sin \varphi$ \sin \varphi	$-\sin \varphi$ -\sin \varphi	$\cos\alpha$ \cos\alpha	$\cos\alpha$ \cos\alpha	$\sin\alpha$ \sin\alpha	$-\sin\alpha$ -\sin\alpha	$-\cos\alpha$ -\cos\alpha	$-\cos\alpha$ -\cos\alpha	$-\sin\alpha$ -\sin\alpha
$\cos \varphi$ \cos \varphi	$\cos \varphi$ \cos \varphi	$\sin\alpha$ \sin\alpha	$-\sin\alpha$ -\sin\alpha	$-\cos\alpha$ -\cos\alpha	$-\cos\alpha$ -\cos\alpha	$-\sin\alpha$ -\sin\alpha	$\sin\alpha$ \sin\alpha	$\cos\alpha$ \cos\alpha
$\tg \varphi$ \tg \varphi	$-\tg \varphi$ -\tg \varphi	$\ctg\alpha$ \ctg\alpha	$-\ctg\alpha$ -\ctg\alpha	$-\tg\alpha$ -\tg\alpha	$\tg\alpha$ \tg\alpha	$\ctg\alpha$ \ctg\alpha	$-\ctg\alpha$ -\ctg\alpha	$-\tg\alpha$ -\tg\alpha
$\ctg \varphi$ \ctg \varphi	$-\ctg \varphi$ -\ctg \varphi	$\tg\alpha$ \tg\alpha	$-\tg\alpha$ -\tg\alpha	$-\ctg\alpha$ -\ctg\alpha	$\ctg\alpha$ \ctg\alpha	$\tg\alpha$ \tg\alpha	$-\tg\alpha$ -\tg\alpha	$-\ctg\alpha$ -\ctg\alpha

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne kąta 90∘−α90^\circ-\alpha90∘−α90^\circ-\alpha

Wzory redukcyjne kąta 90∘+α90^\circ+\alpha90∘+α90^\circ+\alpha

Wzory redukcyjne kąta 180∘−α180^\circ-\alpha180∘−α180^\circ-\alpha

Wzory redukcyjne kąta 180∘+α180^\circ+\alpha180∘+α180^\circ+\alpha

Wzory redukcyjne kąta 270∘−α270^\circ-\alpha270∘−α270^\circ-\alpha

Wzory redukcyjne kąta 270∘+α270^\circ+\alpha270∘+α270^\circ+\alpha

Wzory redukcyjne kąta 360∘−α360^\circ-\alpha360∘−α360^\circ-\alpha

Wzory redukcyjne kąta 360∘+α360^\circ+\alpha360∘+α360^\circ+\alpha