Wzory skróconego mnożenia

Dla dowolnych liczb $a,b\in\mathbb{R}$a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

Dla dowolnych liczb $a,b\in\mathbb{R}$a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

Dla dowolnych liczb $a,b\in\mathbb{R}$a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

Dla dowolnych liczb $a,b\in\mathbb{R}$a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

Dla dowolnych liczb $a,b\in\mathbb{R}$a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

Dla dowolnych liczb $a,b\in\mathbb{R}$a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

Dla dowolnych liczb $a,b\in\mathbb{R}$a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

Dla dowolnych liczb $a,b,c\in\mathbb{R}$a,b,c\in\mathbb{R} zachodzi:

Dla dowolnych liczb $a,b\in\mathbb{R}$a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

Dla dowolnych liczb $a,b\in\mathbb{R}$a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

Dla dowolnych liczb $a,b,c\in\mathbb{R}$a,b,c\in\mathbb{R} zachodzi:

• Kwadrat sumy

  $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2$$

  (a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2(0)

• Kwadrat różnicy

  $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2$$

  (a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2(0)

• Różnica kwadratów

  $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

  a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)(0)

• Różnica sześcianów

  $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$

  a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)(0)

• Suma sześcianów

  $$a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 - ab + b^2)$$

  a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 - ab + b^2)(0)

• Sześcian sumy

  $$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

  (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3(0)

• Sześcian różnicy

  $$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

  (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3(0)

• Kwadrat sumy trzech składników

  $$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)$$

  (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)(0)

Dodatkowo:

Dla dowolnego $n\in\mathbb{N}$n\in\mathbb{N} prawdziwy jest następujący wzór zwany dwumianem Newtona:

gdzie liczby $\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} nazywamy współczynnikiem rozwinięcia dwumianu Newtona.

Zachodzą następującego własności:

• Dla dowolnego $n\in\mathbb{N}$n\in\mathbb{N}:

  $$\binom{n}{0}=1,\quad\binom{n}{n}=1$$

  \binom{n}{0}=1,\quad\binom{n}{n}=1(0)

• Dla dowolnych $n,k\in\mathbb{N}$n,k\in\mathbb{N}, $k\le n$k\le n:

  $$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$

  \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}(0)

• Dla dowolnych $n,k\in\mathbb{N}$n,k\in\mathbb{N}, $k\le n-1$k\le n-1:

  $$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$$

  \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}(0)

Trójkąt Pascala to układ liczb w kształcie trójkąta, w którym każda liczba jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią w poprzednim wierszu.

Pierwszy wiersz zawiera tylko jedną liczbę: $1$1. Każdy kolejny wiersz zaczyna się i kończy jedynką, a pozostałe wartości są sumą dwóch sąsiednich liczb z poprzedniego wiersza.

Zauważ że trójkąt Pascala powstaje w wyniku zastosowania własności symbolu Newtona:

• ponieważ zachodzi:

  $$\binom{n}{0}=1,\quad\binom{n}{n}=1$$

  \binom{n}{0}=1,\quad\binom{n}{n}=1(0)

  to na brzegach trójkąta znajdują się jedynki

• ponieważ zachodzi:

  $$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$

  \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}(0)

  to punkty które są jednakowo odległe od brzegów mają tę samą wartość

• ponieważ zachodzi:

  $$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$$

  \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}(0)

  to każdy współczynnik jest sumą dwóch współczynników znajdujących się bezpośrednio nad nim.

• usuwanie niewymierności z mianownika:

  $$\begin{aligned}\frac{2}{3-\sqrt{5}}&=\frac{2(3-\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}\\&=\frac{6-2\sqrt{5}}{3^2-\sqrt{5}^2}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\\&=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{aligned}$$

  \begin{aligned}\frac{2}{3-\sqrt{5}}&=\frac{2(3-\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}\\&=\frac{6-2\sqrt{5}}{3^2-\sqrt{5}^2}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\\&=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{aligned}(0)

• upraszczanie wyrażeń:

  $$\begin{aligned} (2-\sqrt{7})^2+(\sqrt{7}-2)^2&=4-4\sqrt{7}+7+7-4\sqrt{7}+4\\&=22 \end{aligned}$$

  \begin{aligned} (2-\sqrt{7})^2+(\sqrt{7}-2)^2&=4-4\sqrt{7}+7+7-4\sqrt{7}+4\\&=22 \end{aligned}(0)

• zamiana sumy algebraicznej na iloczyn (+znajdywanie miejsc zerowych funkcji):

  $$\begin{aligned} x^3+6x^2+12x-4&=x^3+6x^2+12x+8-12\\ &=(x+2)^3-12 \end{aligned}$$

  \begin{aligned} x^3+6x^2+12x-4&=x^3+6x^2+12x+8-12\\ &=(x+2)^3-12 \end{aligned}(0)

  Szukając miejsc zerowych rozwiązujemy:

  $$(x+2)^3=12\iff x+2=\sqrt[3]{12}$$

  (x+2)^3=12\iff x+2=\sqrt[3]{12}(0)

  a stąd

  $$x=\sqrt[3]{12}-2$$

  x=\sqrt[3]{12}-2(0)