Definicja 1

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Nierównością liniową z jedną niewiadomą x nazywamy nierówność przyjmującą jedną z następujących postaci:

(0)\begin{aligned} ax+b&>0\\ ax+b&< 0\\ ax+b&\ge 0\\ ax+b&\le 0\\ \end{aligned}

gdzie a,b\in\mathbb{R}, a x to niewiadoma występująca w pierwszej potędze. Jeżeli a\neq 0 to nierówność nazywamy nierównością pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
Jeśli w nierówności występuje znak < lub >, to mówimy o nierówności ostrej, natomiast jeśli w nierówności występuje znak \le lub \ge, to mówimy o nierówności nieostrej.

Uwaga 1

Równoważność nierówności

Jeśli obie strony nierówności pomnożymy bądź podzielimy przez dowolną liczbę dodatnią (d), to otrzymamy nierówność równoważną.

(0)\begin{align*} ax+b<c&\iff d(ax+b)<dc\\ ax+b<c&\iff \frac{ax+b}{d}<\frac{c}{d} \end{align*}

Jeśli obie strony nierówności pomnożymy bądź podzielimy przez tę samą liczbę ujemną (-d), to zmieniając zwrot nierówności na przeciwny otrzymamy nierówność równoważną.

(0)\begin{align*} ax+b<c&\iff -d(ax+b)>-dc\\ ax+b<c&\iff \frac{ax+b}{-d}>\frac{c}{-d} \end{align*}

Zauważ, że mnożenie przez -1 to nic innego niż przeniesienie lewej strony nierówności na prawą stronę, a prawej na lewą.

Mówimy, że dana liczba spełnia nierówność, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej, otrzymujemy nierówność prawdziwą. Rozwiązanie nierówności polega na znalezieniu wszystkich liczb (przedziału liczb) które spełniają tę nierówność. O ile w przypadku równań liniowych najczęściej istniało dokładni jedno rozwiązanie, tak w przypadku nierówności ich rozwiązaniem jest najczęściej przedział liczbowy.

Przykład 1

Nierówności

Niech dana będzie nierówność:

(0)\frac{1}{3}x-\sqrt{2}<\frac{x-4}{\sqrt{2}}

Mnożąc obustronnie przez \sqrt{2} otrzymujemy:

(0)\frac{\sqrt{2}}{3}x-2<x-4

Przenosząc wyrażenia z x na lewą stronę a pozostałe wyrażenia na prawą mamy:

(0)\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)x<-2

Dzieląc obustronnie przez \displaystyle\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right) otrzymujemy:

(0)x>\frac{-2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)}

gdzie po drodze zmieniliśmy znak nierówności ponieważ \left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)<0.
Możemy jeszcze uprościć wyrażenie po prawej stronie:

(0)\begin{align*} \frac{-2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)}&=\frac{2}{\left(1-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)}\\&=\frac{2}{\left(\frac{3-\sqrt{2}}{3}\right)}\\&=\frac{6}{3-\sqrt{2}}\\&=\frac{6(3+\sqrt{2})}{7}\\&=\frac{18+6\sqrt{2}}{7} \end{align*}

Zatem rozwiązaniem nierówności jest przedział:

(0)x\in\left(\frac{18+6\sqrt{2}}{7},\infty\right)

Każda prosta dzieli płaszczyznę na dwie części: