Dwumian Newtona

Dla dowolnego $n\in\mathbb{N}$ n\in\mathbb{N} prawdziwy jest następujący wzór zwany dwumianem Newtona:

\begin{align*} (x+y)^n&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k\\&=\binom{n}{0}x^ny^0+\binom{n}{1}x^{n-1}y^1+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+\ldots+\\ &\ \ \ \ \ \binom{n}{n-1}x^1y^{n-1}+\binom{n}{n}x^0y^n \end{align*}

oraz

\begin{align*} (x-y)^n&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}(-y)^k\\ &=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}y^k\\ &=\binom{n}{0}x^ny^0-\binom{n}{1}x^{n-1}y^1+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2-\ldots+\\ &\quad\ \ (-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}y^k+\ldots+ (-1)^n\binom{n}{n}x^0y^n \end{align*}

gdzie liczby $\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} nazywamy współczynnikiem rozwinięcia dwumianu Newtona.