Przykład 1

Przykład

Wyobraźmy sobie, że codziennie przez 5 dni zbieramy jabłka w sadzie. Każdego dnia zbieramy po 8 jabłek. Na koniec tygodnia dostajemy dodatkowe 20 jabłek od sąsiada. Ile jabłek mamy łącznie? Liczymy:

(0)5 \cdot 8+20=40+20=60

zatem będziemy mieć 60 jabłek.

A teraz załóżmy, że zamiast dostawać dodatkowe jabłka na końcu tygodnia, sąsiad daje nam 20 jabłek już pierwszego dnia, a my nadal zbieramy po 8 jabłek przez kolejne 5 dni. Ile tym razem mamy jabłek?

(0)20+5 \cdot 8=?

Oczywiście odpowiedź to też 60. Jeśli nie zwrócimy uwagi na kolejność działań i wykonamy je od lewej do prawej, moglibyśmy policzyć:

(0)20+5 \cdot 8=25 \cdot 8=200

co jest błędne! Zgodnie z kolejnością działań, najpierw mnożymy:

(0)20+5 \cdot 8=20+40=60

Czyli w obu przypadkach mamy 60 jabłek!

Kolejność wykonywania działań to jedno z podstawowych zagadnień, które pozwala na właściwe rozwiązywanie problemów matematycznych. Bez znajomości tych zasad obliczenia mogą prowadzić do błędnych wyników, ponieważ różne sposoby grupowania działań dają różne rezultaty. Dlatego tak ważne jest zrozumienie i zapamiętanie reguł, które decydują o tym, jakie operacje matematyczne wykonujemy w pierwszej kolejności oraz zapewniają jednoznaczność wyników. Poprawną kolejność wykonywania działań przedstawia poniższy graf:

Innymi słowy:

najpierw wykonujemy działania w nawiasach,
jeżeli w wyrażeniu występują potęgi (lub pierwiastki), obliczamy je przed wykonaniem pozostałych działań,
mnożenie i dzielenie wykonujemy przez dodawaniem i odejmowaniem,
jeżeli operacje mnożenia i dzielenia występują obok siebie, to wykonujemy je w kolejności od lewej do prawej,
jeżeli operacje dodawania i odejmowania występują obok siebie to wykonujemy je w kolejności od lewej do prawej.

Warto też pamiętać, że:

dodawanie wielu składników możemy wykonać w dowolnej kolejności (przemienność dodawania),
mnożenie wielu czynników możemy wykonać w dowolnej kolejności (przemienność mnożenia).

Przykład 2

Kolejność wykonywania działań

Prześledźmy kolejność wykonywania działań na przykładzie wyrażenia

(0)(2+4)^2:4\cdot(12-5)+6

Zgodnie z przedstawionym grafem, najpierw wykonujemy działania w nawiasach

(0){\underbrace{(2+4)}_{\textcolor{lime}{6}}} ^2:4\cdot {\underbrace{(12-5)}_{\textcolor{lime}{7}}}+6={\textcolor{lime}{6}} ^2:4\cdot{\textcolor{lime}{7}}+6

Następnie podnosimy do potęgi:

(0){\underbrace{\textcolor{lime}{6}^2}_{\textcolor{orangered}{36}}} :4\cdot \textcolor{lime}{7}+6

Teraz wykonujemy mnożenie oraz dzielenie w kolejności ich występowania (od lewej). Najpierw dzielimy przez 4, a następnie mnożymy przez 7

(0)\underbrace{\textcolor{orangered}{36}:4}_{\textcolor{cyan}{9}}\cdot\textcolor{lime}{7}+6=\underbrace{\textcolor{cyan}{9}\cdot\textcolor{lime}{7}}_{\textcolor{cyan}{63}}+6

Wreszcie dodajemy 6 i otrzymujemy

(0)\underbrace{\textcolor{cyan}{63}+6}_{\textcolor{orange}{69}}

Przykład 3

Przykład

(0)\begin{aligned} 3^{3}-2^4+9:3+7 \cdot 2 \cdot \left(8-5\right)&=27-16+3+14 \cdot 3=\\ &=14+42=56 \end{aligned}

Mnożenie