Twierdzenie 1

O miejscach zerowych funkcji kwadratowej

Niech dana będzie funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx+c oraz niech \Delta będzie jej wyróżnikiem. Wówczas:

Jeżeli \Delta>0, to funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe dane wzorami:
(0)\begin{align*} x_1&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2&= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{align*}
Jeżeli \Delta=0, to funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe dane wzorem:
(0)x_1=x_2=-\frac{b}{2a}
Jeżeli \Delta < 0, to funkcja nie ma miejsc zerowych.

Definicja 1

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Postacią iloczynową funkcji kwadratowej nazywamy wyrażenie postaci

(0)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

gdzie x_1,x_2 to miejsca zerowe funkcji f (tj. gdy \Delta >0) oraz wyrażenie postaci

(0)f(x)=a(x-x_0)^2

gdy x_0 to jedyne miejsce zerowe (pierwiastek podwójny) funkcji f (\Delta=0).

Definicja 2

Rozkład funkcji na czynniki liniowe

Rozkładem funkcji na czynniki liniowe nazywamy proces zamiany postaci ogólnej funkcji kwadratowej na postać iloczynową.

Uwaga 1

Istnienie postaci iloczynowej

Naturalnie, postać iloczynowa funkcji kwadratowej istnieje jedynie wtedy, gdy funkcja posiada miejsce zerowe, czyli gdy \Delta \ge0.

Postacie: ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej są sobie równoważne, czyli opisują tę samą funkcję kwadratową, z tym że pozwalają nam dostrzec poszczególne własności tej funkcji bez dokonywania dodatkowych obliczeń. Z tego powodu pracując z funkcjami kwadratowymi, przydatna jest umiejętność zamiany jednej z postaci tej funkcji na inna:

kanoniczna → ogólna: pozbywamy się nawiasu wykonując potęgowanie i uproszczamy wyrażenie
kanoniczna → iloczynowa: najpierw zamieniamy na ogólną, a następnie szukamy miejsc zerowych
iloczynowa → ogólna: mnożymy przez siebie nawiasy i upraszczamy
iloczynowa → kanoniczna:
- najpierw na ogólną i z niej wyznaczamy współrzędne wierzchołka, lub
- liczymy współrzędna x-ową wierzchołka ze wzoru (bo wierzchołek leży dokładnie pomiędzy miejscami zerowymi):
  (0)\displaystyle p= \frac{x_1+x_2}{2}
  a współrzędna y-ową wyznaczamy licząc wartość funkcji w punkcie p.

Miejsce zerowe funkcji