Definicja 1

Ciąg

Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich (lub jego podzbiór początkowych liczb naturalnych):

(0)a:\mathbb{N_+}\rightarrow X, \quad n\mapsto a_n

gdzie a_n oznacza n-ty wyraz ciągu, a X to zbiór wartości ciągu.
W praktyce ciąg przedstawia się jako uporządkowany zbiór elementów:

(0)(a_1,a_2,a_3,\ldots),

gdzie każdy element a_n jest jednoznacznie określony dla n\in\mathbb{N}.

Jeżeli wyrazami ciągu są liczby rzeczywiste, to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.

Ciągi mogą być:

skończone, gdy mają ograniczoną liczbę wyrazów, tj. gdy ich dziedziną jest skończony zbiór \{1,2,\ldots,n\}. Mówimy wówczas że ciąg jest n-elementowy
nieskończone, gdy liczba wyrazów jest nieskończona, tj. dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.

Uwaga 1

Uwaga

O ile wartości funkcji w punkcie x zapisujemy f(x), tak w przypadku ciągów argument, czyli liczbę naturalną zapisujemy w indeksie dolnym: a_n.

Uwaga 2

Uwaga

O ile w zbiorze liczbowym kolejność wyrazów nie ma znaczenia, tak w przypadku ciągu jak najbardziej ma:

(0)\begin{aligned} \left\{1,2,3,4,5\right\}&=\left\{5,4,3,2,1\right\}\\ \left(1,2,3,4,5\right)&\neq \left(5,4,3,2,1\right) \end{aligned}

Ciągi (zwłaszcza nieskończone) najczęściej podawane są za pomocą ich wzoru ogólnego który jest “przepisem” na to jak obliczyć dowolny wyraz tego ciągu.

Definicja 2

Wzór (wyraz) ogólny ciągu

Wzór (wyraz) ogólny ciągu to wyrażenie wyrażenie pozwalające obliczyć wartość dowolnego wyrazu tego ciągu:

(0)a_n=\text{wzór na n-ty wyraz}

Definicja 3

Ciąg określony rekurencyjnie

Ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie, jeżeli:

określone są wartości początkowych k\in\mathbb{N_+} wyrazów ciągu a_1,a_2,\ldots,a_k.
każdy kolejny wyraz n>k jest wyrażony za pomocą wcześniejszych wyrazów:
(0)a_n=f(a_{n+1},a_{n-2},\ldots,a_{n-k}),
gdzie f to ustalona funkcja.

Ponieważ ciąg jest funkcją, możemy go przedstawić graficznie w układzie współrzędnych. Współrzędne odcięte odpowiadają kolejnym liczbom naturalnym, a rzędne - wartościom ciągu dla danego wyrazu.

Definicja 4

Suma ciągu liczbowego

Sumą n początkowych wyrazów ciągu liczbowego \left(a_n\right) nazywamy wyrażenie:

(0)S_n=a_1+a_2+\ldots +a_n