Definicja 1

Definicja

Definicja matematyczna to precyzyjne określenie pojęcia w matematyce, które jednoznacznie określa jego znaczenie i zakres. Definicja powinna być jasna, niesprzeczna oraz oparta na wcześniej przyjętych pojęciach lub aksjomatach.

Definicja 2

Twierdzenie matematyczne

Twierdzenie matematyczne to zdanie, którego prawdziwość można wykazać (udowodnić) na podstawie wcześniej przyjętych założeń, aksjomatów lub innych udowodnionych twierdzeń, stosując ścisłe reguły logiki matematycznej.

Twierdzenie składa się z dwóch głównych części:

Założenia (przesłanki) – warunki, które muszą być spełnione, aby twierdzenie było prawdziwe.
Teza (wniosek) – stwierdzenie, które wynika z przyjętych założeń i które należy udowodnić.

Definicja 3

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne do danego twierdzenia to twierdzenie powstałe przez zamianę miejscami hipotezy (założenia) i tezy (wniosku) tego twierdzenia (implikacja odwrotna).

Uwaga 1

Uwaga

Nie każde twierdzenie odwrotne jest prawdziwe.

Uwaga 2

Uwaga

Nie każde twierdzenie jest zapisane za pomocą implikacji.

Definicja 4

Dowód matematyczny

Dowód matematyczny to logiczny ciąg argumentów, oparty na przyjętych aksjomatach, definicjach oraz wcześniej udowodnionych twierdzeniach, który wykazuje prawdziwość danego zdania (twierdzenia) w sposób ścisły i niepodważalny.

Definicja 5

Hipoteza

Hipoteza to przypuszczenie dotyczące własności obiektów matematycznych lub zależności między nimi, które nie zostało jeszcze udowodnione ani obalone. Może stać się twierdzeniem, jeśli zostanie potwierdzona za pomocą dowodu matematycznego.

Uwaga 3

Kontrprzykład

Często dane twierdzenie można obalić znajdując jeden przykład spełniający założenia twierdzenia dla którego teza twierdzenia nie jest prawdziwa.

Definicja 6

Dowód wprost

Dowód wprost polega na bezpośrednim wykazaniu prawdziwości tezy na podstawie założeń, stosując logiczne rozumowanie i znane twierdzenia.

Definicja 7

Dowód nie wprost

Dowód nie wprost polega na przyjęciu założenia przeciwnego do tezy i wykazaniu, że prowadzi to do sprzeczności.

Definicja 8

Pojęcie pierwotne

Pojęcie pierwotne w matematyce to takie pojęcie, które nie jest definiowane za pomocą innych pojęć, lecz przyjmuje się je jako podstawowe i intuicyjnie zrozumiałe. Stanowi ono fundament danej teorii matematycznej, a inne pojęcia są na nim budowane.

Przykład 1

Pojęcia pierwotne

Geometria - punkt, prosta, płaszczyzna.
Teoria mnogości - zbiór.

Definicja 9

Aksjomat

Aksjomat to zdanie logiczne przyjmowane jako prawdziwe bez dowodu. Stanowi podstawę danej teorii matematycznej i służy do wyprowadzania innych twierdzeń za pomocą reguł logiki.

Definicja 10

Dowód indukcyjny

Dowód indukcyjny to metoda dowodzenia twierdzeń matematycznych, szczególnie dotyczących liczb naturalnych. Opiera się na zasadzie indukcji matematycznej i składa się z dwóch głównych kroków:

Krok bazowy – wykazanie, że twierdzenie jest prawdziwe dla początkowej wartości (zazwyczaj n=0 lub n=1).
Krok indukcyjny – założenie, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n (tzw. założenie indukcyjne) i wykazanie, że jest ono prawdziwe także dla n+1.

Jeśli oba kroki są poprawnie udowodnione, to zgodnie z zasadą indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych spełniających warunki początkowe.