Najmniejsza i największa wartość funkcji liczbowej to najmniejsza i największa liczba w zbiorze wartości funkcji (o ile istnieje).

Definicja 1

Ekstrema lokalne

Niech dana będzie funkcja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} oraz x_0\in(a,b). Mówimy, że funkcja f przyjmuje w punkcie x_0 minimum lokalne (odpowiednio: maksimum lokalne) równe f(x_0), jeżeli dla każdego x z pewnego otoczenia U(x_0)\subset (a,b) zachodzi nierówność f(x)\ge f(x_0) (odpowiednio: f(x)\le f(x_0).
Minima i maksima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji f.

Jeżeli nierówności słabe \le oraz \ge zastąpimy nierównościami silnymi < oraz > (czyli w otoczeniu punktu x_0 nie ma również punktów przyjmujących wartość f(x_0)), to mówimy o ekstremach lokalnych właściwych.

Ekstrema lokalne dotyczą pewnego otoczenia punktu x_0. W całej dziedzinie rozważamy tzw. ekstrema globalne, czyli najmniejsze i największe wartości funkcji w całej jej dziedzinie.

Definicja 2

Ekstrema globalne

Mówimy, że funkcja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ma w punkcie x_0\in\mathbb{R} maksimum (odpowiednio: minimum) globalne, jeżeli dla dowolnego x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}:

(0)f(x)\le f(x_0)\quad(\text{odpowiednio: }f(x)\ge f(x_0))

Jeżeli nierówności słabe \le oraz \ge zastąpimy nierównościami silnymi < oraz >, to mówimy o ekstremach globalnych właściwych.

Uwaga 1

Istnienie ekstremów

Nie każda funkcja posiada ekstrema!

Twierdzenie 1

Twierdzenie Weierstrassa (o kresach)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym \left[a,b\right], to w pewnym punkcie c tego przedziału funkcja ta przyjmuje wartość największą oraz w pewnym punkcie d tego przedziału przyjmuje wartość najmniejszą:

(0){\displaystyle \exists c,d\in [a,b]\ \forall x\in [a,b]:f(d)\leqslant f(x)\leqslant f(c).}

Aby odczytać najmniejszą oraz największą wartość funkcji z jej wykresu, należy zlokalizować jego najniżej oraz najwyżej położony punkt i sprawdzić wartość drugiej współrzędnej.

Uwaga 2

Krańce przedziału

Pamiętaj aby przy wyznaczaniu ekstremów nie uwzględniać otwartych krańców dziedziny!

Twierdzenie 2

Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego

Jeżeli funkcja f określona w pewnym otoczeniu punktu x_0 ma w tym punkcie pochodną oraz ekstremum lokalne, to:

(0)f'(x_0)=0

Definicja 3

Punkt krytyczny

Punkt x_0\in(a,b) nazywamy punktem krytycznym funkcji f określonej na przedziale \left(a,b\right) jeżeli f'(x_0)=0 lub f'(x_0) nie istnieje.

Twierdzenie 3

Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego

Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x_0, ciągła w tym punkcie oraz różniczkowalna w sąsiedztwie S(x_0). Wówczas:

jeżeli f'(x)>0 dla x\in S_-(x_0) oraz f'(x)<0 dla x\in S_+(x_0) to funkcja f ma w punkcie x_0 maksimum lokalne właściwe.
jeżeli f'(x)<0 dla x\in S_-(x_0) oraz f'(x)>0 dla x\in S_+(x_0) to funkcja f ma w punkcie x_0 minimum lokalne właściwe.
jeżeli f'(x)>0 dla x\in S(x_0) albo f'(x)<0 dla x\in S(x_0) to funkcje nie ma w punkcie x_0 ekstrema lokalnego.

Uwaga 3

Uwaga

To, że pochodna w punkcie wynosi 0, jest jednym z warunków (warunek konieczny), żeby w tym punkcie mogło być ekstremum (czyli maksimum lub minimum). Ale sam fakt, że pochodna jest równa 0, nie oznacza, że ekstremum tam na pewno jest.

Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale

Aby wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale domkniętym [a,b], należy:

wyznaczyć wszystkie punkty krytyczne funkcji na przedziale \left(a,b\right)
obliczyć wartość funkcji f w punktach krytycznych oraz na końcach przedziału [a,b]
wyznaczyć najmniejszą i największą spośród obliczonych wartości

Aby wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale otwartym (a,b), należy:

wyznaczyć wszystkie punkty krytyczne funkcji na przedziale \left(a,b\right)
obliczyć wartość funkcji f w punktach krytycznych oraz obliczyć granice jednostronne funkcji na krańcach przedziału:
(0)\lim_{x\to a^+}f(x)\qquad \lim_{n\to b^-}f(x)
zdecydować czy wartość najmniejsza i największa istnieje

Ekstremum funkcji