Definicja 1

Zbiór liczbowy

Zbiór liczbowy to zbiór, którego elementami są liczby. Zbiór wszystkich rozpatrywanych elementów nazywamy przestrzenią oznaczaną literą U.
Zbiory liczbowe oznaczamy wielkimi literami A,B,C,\ldots , a ich elementy zapisujemy w nawiasach klamrowych małymi literami a,b,c\ldots i oddzielamy je przecinkami:

(0)A=\{a,b,c,d,e\}

Alternatywnie, zbiór możemy również opisać za pomocą warunku który muszą spełniać jego elementy:

(0)A=\{a:\text{warunek który musi spełniać } a\}

Fakt, że element a należy do zbioru A oznaczamy symbolicznie a\in A i czytamy “a należy do zbioru A”. Jeżeli element a nie należy do zbioru A, to piszemy a\notin A i czytamy “a nie należy do zbioru A”.

Przykład 1

Zbiory liczbowe

Przykłady zbiorów liczbowych:

Zbiór liczb naturalnych:

(0)\begin{align*} \mathbb{N}&=\{0, 1, 2,3, \ldots\}\\ \end{align*}

Zbiór składający się z liczb 2,3,5 oraz 7:
(0)A=\{2,3,5,7\}\\
Zbiór kolejnych potęg o wykładniku naturalnym liczby 3:
(0)B=\{3^n:n\in\mathbb{N}\}=\{1, 3, 9,27,81,\ldots\}

Uwaga 1

Uwaga

Czasami, zamiast wypisywać wszystkie elementy zbioru, można posłużyć się skróconym zapisem, tj. zbiór postaci

(0)\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30\}

możemy zapisać krócej:

(0)\{2,4,6,\ldots,30\}

W powyższym zapisie wypisaliśmy trzy początkowe elementy pozwalające określić regułę powstawania kolejnych liczb w tym zbiorze oraz użyliśmy symbolu \ldots oznaczającego “i tak dalej” aż do liczby 30.

Definicja 2

Zbiór skończony i nieskończony

Zbiorem skończonym nazywamy zbiór który ma skończoną liczbę elementów. Zbiór do którego należy nieskończenie wiele elementów nazywamy zbiorem nieskończonym.

Definicja 3

Moc zbioru

Mocą zbioru skończonego A nazywamy liczbę elementów tego zbioru i oznaczamy |A|.

Definicja 4

Zbiory równoliczne

Mówimy, że zbiory A i B są równoliczne, gdy mają tyle samo elementów, tj. |A|=|B|.

Definicja 5

Zbiór pusty

Zbiorem pustym to zbiór do którego nie należy żaden element. Zbiór pusty jest szczególnym przypadkiem zbioru skończonego i oznaczamy go symbolem \emptyset.

Definicja 6

Zbiory równe

Zbiory A i B są sobie równe, jeżeli mają dokładnie te same elementy, tj. każdy element zbioru A należy do zbioru B i odwrotnie, każdy element zbioru B należy do zbioru A. Równość zbiorów zapisujemy

(0)A=B,

a zapis A\neq B oznacza że zbiory A i B nie są równe.

Definicja 7

Podzbiór

Zbiór A jest podzbiorem zbioru B, jeżeli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B i zapisujemy to:

(0)A\subset B

Przeciwnie, zapis A\not\subset B oznacza, że zbiór A nie jest podzbiorem zbioru B.

Uwaga 2

Uwaga

Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru oraz każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem, tj. \emptyset \subset A,A\subset A. Dodatkowo, każdy zbiór zawiera się w przestrzeni A\subset U.

Przykład 2

Zbiory

Dla zbiorów A=\{1,4,3,6\} oraz B=\{6,3,4,1\} zachodzi:
(0)A=B,
ponieważ oba zbiory składają się z tych samych elementów: 1,3,4,6.
Dla zbiorów A=\{1,2,3,4,5\} oraz B=\{n: n\in\mathbb{N}\land n>0\land n\le6\} zachodzi:
(0)A\subset B
ponieważ B=\{1,2,3,4,5,6\} a zatem każdy element zbioru A należy również do zbioru B. Zbiory nie są równe ponieważ zbiór B posiada dodatkowo element 6 który nie należy do zbioru A .
Zbiór A=\{x:x>0\land x<0\} jest zbiorem pustym:
(0)A=\emptyset
ponieważ nie istnieje liczba która byłaby jednocześnie mniejsza oraz większa od 0.

Uwaga 3

Uwaga

Zauważ, że należenie do zbioru to relacja między elementem a zbiorem, a zawieranie się to relacja między dwoma zbiorami.

Przykład 3

Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych \mathbb{R}

W zbiorze liczb rzeczywistych \mathbb{R} wyróżniamy następujące podzbiory:

Zbiór liczb naturalnych \mathbb{N} i podzbiór liczb naturalnych dodatnich:
(0)\begin{aligned} \mathbb{N_+}&=\{1,2,3,4,\ldots\}\\ \mathbb{N}&=\mathbb{N_+}\cup \{0\}=\{0,1,2,3,4,\ldots\} \end{aligned}
Zbiór liczb całkowitych \mathbb{Z}, w tym podzbiór liczb całkowitych ujemnych i dodatnich:
(0)\begin{aligned} \mathbb{Z_+}&=\{1,2,3,4,\ldots\}\\ \mathbb{Z_{-}}&=\{\ldots,-4,-3,-2,-1\}\\ \mathbb{Z}&=\mathbb{Z_-}\cup\{0\}\cup\mathbb{Z_+} \end{aligned}
Zbiór liczb wymiernych \mathbb{Q}:
(0)\mathbb{Q}=\left\{x:x=\frac{p}{q}, p,q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}
Zbiór liczb niewymiernych \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}

Definicja 8

Działanie wewnętrzne

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub operacją wewnętrzną) w zbiorze X nazywamy funkcję \circ:X\times X\to X, która każdej parze elementów (a,b)\in X\times X przyporządkowuje element a\circ b\in X.

Innymi słowy, działanie wewnętrzne to takie działanie, które łączy dwa elementy zbioru X i zwraca wynik również należący do zbioru X.

Uwaga 4

Uwaga

Działanie wewnętrzne w zbiorze X nazywamy również działaniem wykonalnym w tym zbiorze. Pozostałe działania nazywamy niewykonalnymi.

Zbiór liczb naturalnych jest zbiorem nieskończonym, którego najmniejszy element to 0 a największy nie istnieje.

Twierdzenie 1

O działaniach w zbiorze liczb naturalnych

W zbiorze liczb naturalnych:

dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi,
odejmowanie i dzielenie nie są wykonalne ponieważ różnica może być liczbą ujemną a iloraz - wymierną.

Zbiór liczb całkowitych jest zbiorem nieskończonym i nie ma ani elementu najmniejszego, ani największego.

Twierdzenie 2

O działaniach w zbiorze liczb całkowitych

W zbiorze liczb naturalnych:

dodawanie, odejmowanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi,
dzielenie nie jest wykonalne ponieważ iloraz może być liczbą wymierną.

Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem nieskończonym i nie ma ani elementu najmniejszego, ani największego.

Twierdzenie 3

O działaniach w zbiorze liczb wymiernych

W zbiorze liczb wymiernych działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem nieskończonym i nie ma ani elementu najmniejszego, ani największego. Co więcej, jest on nawet liczniejszy niż zbiór liczb wymiernych.

Twierdzenie 4

O działaniach w zbiorze liczb niewymiernych

W zbiorze liczb niewymiernych działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia nie są wykonalne.

Twierdzenie 5

O działaniach w zbiorze liczb rzeczywistych

W zbiorze liczb rzeczywistych działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

Element zbioru liczbowego