Definicja 1

Funkcja ciągła w punkcie

Funkcja f jest ciągła w punkcie x_0\in D_f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica właściwa \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) oraz \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

Definicja 2

Funkcja jednostronnie ciągłą w punkcie

Funkcja f określona w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) otoczeniu punktu x_0 jest lewostronnie (odpowiednio: prawostronnie) ciągła w punkcie x_0, gdy istnieje granica \displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) (odpowiednio: \displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)) oraz \displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0) (odpowiednio: \displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)).

Uwaga 1

Uwaga

Punkty dziedziny funkcji w której ta funkcje nie jest ciągła nazywamy punktami nieciągłości tej funkcji.

Definicja 3

Funkcja ciągła w przedziale otwartym

Mówimy, że funkcja jest ciągła w przedziale otwartym \left(a,b\right) jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

Definicja 4

Funkcja ciągła w przedziale domkniętym

Funkcję f:[a,b]\to\mathbb{R} nazywamy ciągła w przedziale domkniętym [a,b], jeżeli jest ciągłą w przedziale (a,b) oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie a i lewostronnie ciągła w punkcie b.

Definicja 5

Funkcja ciągła

Mówimy, że funkcja jest ciągła jeżeli jest ciągła w całej swojej dziedzinie.

Uwaga 2

Uwaga

O ciągłości funkcji w punkcie (lub na całej dziedzinie) możesz myśleć jak o nieprzerywalności wykresu tej funkcji w tym punkcie (lub na całej dziedzinie). Innymi słowy, wykres funkcji nie posiada “skoków”.

Twierdzenie 1

O ciągłości wybranych funkcji

Wszystkie funkcje: wielomianowe, wymierne, wykładnicze, logarytmiczne oraz trygonometryczne są ciągłe w każdym punkcie swojej dziedziny.

Twierdzenie 2

Własności ciągłości

Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x_0, to funkcje f+g, f-g, f \cdot g oraz \displaystyle \frac{f}{g} (o ile g(x_0)\neq 0) również są ciągłe w punkcie x_0.

Twierdzenie 3

Twierdzenie Darboux (o wartości pośredniej)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym \left[a,b\right] oraz f(a)\neq f(b), to dla dowolnego d spełniającego jedną z nierówności

(0)f(a)<d<f(b)\vee f(a)>d>f(b)

istnieje taka liczba c\in[a,b], że:

(0)f(c)=d

Twierdzenie 4

O lokalnym zachowaniu znaku

Niech dana będzie funkcja f określona w pewnym otoczeniu U(x_0,\varepsilon) punktu x_0, ciągła w punkcie x_0 oraz taka że f(x_0)>0 (odpowiednio: f(x_0)<0). Wówczas istnieje otoczenie U'(x_0,\varepsilon')\subset U(x_0,\varepsilon) punktu x_0, oraz dla dowolnego x\in U'(x_0,\varepsilon') zachodzi f(x)>0 (odpowiednio: f(x)<0)