Definicja 1

Trójkąty podobne

Mówimy, że trójkąty ABC oraz A'B'C' są podobne, jeżeli ich odpowiednie boki są parami proporcjonalne, tj. zachodzi:

(0) \frac{|A'B'|}{|AB|}= \frac{|B'C'|}{|BC|}= \frac{|A'C'|}{|AC|}=k ,

oraz |\measuredangle A|=|\measuredangle A'|, |\measuredangle B|=|\measuredangle B'| i |\measuredangle C|=|\measuredangle C'|.

Liczbę k>0 nazywamy skalą podobieństwa. Oznaczenie: \triangle ABC\sim \triangle A'B'C'

Uwaga 1

Uwaga

Zwróć uwagę, że jeżeli trójkąt A'B'C' jest podobny do trójkąta ABC w skali k to trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A'B'C' w skali \displaystyle \frac{1}{k} .

Uwaga 2

Uwaga

Trójkąty przystające są też trójkątami podobnymi a ich skala podobieństwa wynosi 1.

Twierdzenie 1

I cecha podobieństwa trójkątów: bok-bok-bok (bbb)

Jeżeli długości boków w trójkącie ABC są proporcjonalne do odpowiednich długości boków w trójkącie A'B'C', tj. zachodzi:

(0) \frac{|A'B'|}{|AB|}= \frac{|B'C'|}{|BC|}= \frac{|A'C'|}{|AC|} ,

to trójkąty te są podobne.

Twierdzenie 2

II cecha podobieństwa trójkątów: bok-kąt-bok (bkb)

Jeżeli długości dwóch boków w trójkącie ABC, są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków w trójkącie A'B'C', oraz kąty między tymi bokami są równe, to trójkąty te są podobne.

Twierdzenie 3

III cecha podobieństwa trójkątów: kąt-kąt-kąt (kkk)

Jeżeli dwa kąty trójkąta ABC są równe odpowiednim dwóm kątom trójkąta A'B'C', to trójkąty te są podobne.

Twierdzenie 4

Własności trójkątów podobnych

Niech dane będą trójkąty podobne A'B'C' i ABC ze skalą podobieństwa k. Wówczas:

stosunek obwodu trójkąta A'B'C' do obwodu trójkąta ABC wynosi k.
stosunek pola trójkąta A'B'C' do pola trójkąta ABC wynosi k^2.