Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej to odległość tej liczby od 0 na osi liczbowej, a ponieważ odległość nie może być ujemna to i wartość bezwzględna jest nieujemna. Wartość bezwzględna z liczby dodatniej jest równa tej liczbie (jest taka sama), natomiast wartość bezwzględna z liczby ujemnej to liczba do niej przeciwna.

Formalnie możemy ją zdefiniować następująco:

Definicja 1

Wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną (modułem) liczby x\in\mathbb{R} nazywamy liczbę |a| daną wzorem:

(0)|x|=\begin{cases}x, &\text{ dla } x\ge 0 \\ -x, &\text{ dla } x < 0\end{cases}

Uwaga 1

Nieujemność wartości bezwzględnej

Wprost z definicji wartości bezwzględniej wynika, że dla dla dowolnego a\in\mathbb{R}, |a| jest zawsze liczbą nieujemną, tj. |a|\ge 0. Możemy powiedzieć że “wartość bezwzględna usuwa minus z liczby ujemnej”.

Przykład 1

Przykład

Przykłady wartości bezwzględnych z wybranych wyrażeń:

|5|=5,
|-13|=13,
|\sqrt{3}-2|=-(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}, ponieważ \sqrt{3}-2<0,
|-1-\sqrt{5}|=|-(1+\sqrt{5})|=1+\sqrt{5}.

Twierdzenie 1

Własności wartości bezwzględnej

Dla dowolnych a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

Nieujemność
(0)|a|\ge 0
Dodatnia określoność
(0)|a|=0 \iff a = 0
Równoważność kwadratów
(0)a^2=b^2 \iff |a|=|b|
Równość wartości bezwzględnych
(0)|a|=|b| \iff (a=b \lor a = -b)
Multiplikatywność
(0)|a \cdot b| = |a| \cdot |b|
Podaddytywność
(0)|a+b| \le |a| + |b|
Symetryczność
(0)|-a| = |a|
Nierówność trójkąta
(0)|a-b| \le |a-c| + |c-b|

Dodatkowo, jeśli b>0 to:

(0)\begin{align*} |a| \le b &\iff -b \le a \le b \\ |a| \ge b &\iff a\ge b \vee a \le -b \end{align*}

Zachodzi również:

(0)\begin{aligned} \sqrt{a^2} &= |a|\\ |x|^2&=x^2\\ -|x|\le x &\le |x|\\ |a-b|\le& |a|+|b| \end{aligned}

Twierdzenie 2

Dodatkowe własności wartości bezwzględnej

Z Twierdzenia 1 wynikają następujące dodatkowe własności wartości bezwzględnej:

(0)\begin{align*} |a-b| &= 0 \iff |a=b| \\ |a-b| &= |b-a| \\ |a-b| &\le |a-c| + |c - b| &\text{(nierówność trójkąta)}\\ \left|\frac{a}{b} \right| &= \frac{|a|}{|b|} &\text{(zachowanie dzielenia)} \\ \end{align*}

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Odległość liczby a\in\mathbb{R} od liczby b\in\mathbb{R}, a\le b na osi liczbowej jest równa b-a. Wartość bezwzględna liczby a\in\mathbb{R} to nic innego niż właśnie odległość tej liczby o 0 na osi liczbowej. Ogólniej, wartość bezwzględna z różnicy dwóch liczb a,b\in\mathbb{R} odpowiada odległości pomiędzy nimi na osi liczbowej.

Twierdzenie 3

Interpretacje geometryczna wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna z a\in\mathbb{R} jest równa odległości a od 0 na osi liczbowej.

Twierdzenie 4

Odległość dwóch liczb na osi liczbowej

Odległość liczby a\in\mathbb{R} od liczby b\in\mathbb{R} na osi liczbowej jest równa |a-b|.

Przykład 2

Przykład

Odległość między liczbami na osi liczbowej:

15 i -8:
(0)|15-(-8)|=|23|=23
3+\sqrt{7} i \sqrt{7}-4:
(0)\left|3+\sqrt{7}-\left(\sqrt{7}-4\right)\right|=7