Twierdzenie 1

O istnieniu okręgu opisanego na czworokącie

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne wszystkich boków tego czworokąta przecinają się w jednym punkcie.

Twierdzenie 2

Warunek konieczny i wystarczający do istnienia okręgu opisanego na czworokącie

Na czworokącie da się opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów są równe 180^\circ .

Twierdzenie 3

O okręgu opisanym na czworokącie

Jeżeli na czworokącie o bokach długości a,b,c,d i przekątnych długości e i f da się opisać okrąg, to

(0)ac+bd=ef

Przykład 1

Przykład

Twierdzenie 4

Kątowy warunek istnienia okręgu opisanego na czworokącie

Na czworokącie ABCD można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy przekątne AC i BD tworzą z bokami odpowiednio BC i AD (lub AD i BC) kąty tej samej miary, tj. |\measuredangle ADB|=|\measuredangle ACB| (lub |\measuredangle CAD|=|\measuredangle CBD|)

Twierdzenie 5

Wzór Brahmagupty

Pole czworokąta o bokach długości a,b,c,d na którym da się opisać okrąg wyraża się wzorem:

(0)P=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

gdzie

(0)\displaystyle p= \frac{a+b+c+d}{2}

Jeżeli dodatkowo w ten czworokąt da się wpisać okrąg, to

(0)P=\sqrt{abcd}

Uwaga 1

Uwaga

Druga część Twierdzenia wynika z faktu, że jeżeli w czworokąt da się wpisać okrąg, to

(0)a+c=b+d

Dodatkowo, powyższe Twierdzenie jest szczególnym przypadkiem Twierdzenia Bretschneidera

Przykład 2

Przykład

Promień okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a jest równy \frac{a\sqrt{2}}{2}

Twierdzenie 6

O okręgu opisanym na kwadracie

Punkt przecięcia przekątnych jest środkiem okręgu opisanego na kwadrat
Promień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie długości boku tego kwadratu