Definicja 1

Potęga o wykładniku naturalnym

Niech a\in\mathbb{R} oraz n\in\mathbb{N}. Potęga o podstawie a oraz wykładniku naturalnym n to wyrażenie:

(0)a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \dotsc \cdot a }_{n}.

Wyrażenie a^n można wymówić na wiele sposobów:

a podniesione do potęgi n-tej,
a do potęgi n-tej,
a do n-tej

Uwaga 1

Potęgowanie o wykładniku 2 oraz 3

Powszechnie, zamiast mówić “trzy podniesione do potęgi drugiej” (3^2) oraz “cztery podniesione do potęgi trzeciej” (4^3) używamy zwrotów “trzy do kwadratu” (lub “kwadrat liczby trzy”) oraz “cztery do sześcianu” (lub “sześcian liczby cztery”).

Wyrażenia „do kwadratu” i „do sześcianu” pochodzą z geometrii i mają związek z kształtami oraz ich właściwościami.
W przypadku wyższych potęg brakuje powszechnie używanych figur geometrycznych, które by jednoznacznie kojarzyły się z tymi potęgami. Dlatego używa się po prostu określeń „do potęgi czwartej”, „do potęgi piątej” itd.

Uwaga 2

Potęga o wykładniku 0

Dla dowolnej liczby a\in\mathbb{R}, a\neq 0, zachodzi:

(0)a^0=1.

Dlaczego? Zauważ, że:

(0)1=\frac{a}{a}=\frac{a^1}{a^1}

Z własności działań na potęgach wiemy, że przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach, ich wykładniki się odejmują, zatem możemy napisać:

(0)1=\frac{a^1}{a^1}=a^{1-1}=a^0

Dla a=0, wyrażenie 0^0 jest niezdefiniowane ponieważ nie możemy dzielić przez 0.

Uwaga 3

Potęga z liczby ujemnej

Pamiętamy, że “dwa minusy dają plus”, tj. iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią. W związku z tym, w parzystych potęgach liczb ujemnych możemy całkowicie pominąć znak minus, a w nieparzystych potęgach - zignorować nawias:

(0)\begin{aligned} (-a)^{2}&=(-a) \cdot (-a)=(-1) \cdot a \cdot (-1) \cdot a=a^2\\ (-a)^3&=(-a) \cdot (-a) \cdot (-a)=\underbrace{(-1) \cdot (-1)}_{=1} \cdot (-1) \cdot a^3=-a^3 \end{aligned}

Ogólnie:

(0)\begin{aligned} (-a)^{2k}&=a^{2k}\\ (-a)^{2k+1}&=-a^{2k+1} \end{aligned}

dla dowolnego k\in\mathbb{N}. Innymi słowy, parzysta potęga z liczby ujemnej jest dodatnia, a nieparzysta - ujemna.

Przykład 1

Potęgowanie

5^3=5\cdot 5\cdot 5=125
x^5=x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x
\left(a-b\right)^{2}=\left(a-b\right) \cdot \left(a-b\right)

Uwaga 4

Uwaga

Zauważ, że 10^n to liczba z 1 na początku i n zer:

(0)\begin{aligned} 10^0&=1\\ 10^1&=10\\ 10^2&=100\\ 10^3&=1000 \end{aligned}

Kwadrat liczby