Definicja 1

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Nierównością liniową z jedną niewiadomą x nazywamy nierówność przyjmującą jedną z następujących postaci:

(0)\begin{aligned} ax+b&>0\\ ax+b&< 0\\ ax+b&\ge 0\\ ax+b&\le 0\\ \end{aligned}

gdzie a,b\in\mathbb{R}, a x to niewiadoma występująca w pierwszej potędze. Jeżeli a\neq 0 to nierówność nazywamy nierównością pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
Jeśli w nierówności występuje znak < lub >, to mówimy o nierówności ostrej, natomiast jeśli w nierówności występuje znak \le lub \ge, to mówimy o nierówności nieostrej.

Definicja 2

Równoważność nierówności

Mówimy, że dwie nierówności są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.

Uwaga 1

Równoważność nierówności

Jeśli obie strony nierówności pomnożymy bądź podzielimy przez dowolną liczbę dodatnią (d), to otrzymamy nierówność równoważną.

(0)\begin{align*} ax+b<c&\iff d(ax+b)<dc\\ ax+b<c&\iff \frac{ax+b}{d}<\frac{c}{d} \end{align*}

Jeśli obie strony nierówności pomnożymy bądź podzielimy przez tę samą liczbę ujemną (-d), to zmieniając zwrot nierówności na przeciwny otrzymamy nierówność równoważną.

(0)\begin{align*} ax+b<c&\iff -d(ax+b)>-dc\\ ax+b<c&\iff \frac{ax+b}{-d}>\frac{c}{-d} \end{align*}

Zauważ, że mnożenie przez -1 to nic innego niż przeniesienie lewej strony nierówności na prawą stronę, a prawej na lewą.

Definicja 3

Nierówność sprzeczna i tożsamościowa

Nierównością sprzeczną nazywamy nierówność, która nie jest spełniona przez żadną liczbę rzeczywistą. Przeciwnie, nierówność która jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą nazywamy nierównością tożsamościową.

Mówimy, że dana liczba spełnia nierówność, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej, otrzymujemy nierówność prawdziwą. Rozwiązanie nierówności polega na znalezieniu wszystkich liczb (przedziału liczb) które spełniają tę nierówność. O ile w przypadku równań liniowych najczęściej istniało dokładni jedno rozwiązanie, tak w przypadku nierówności ich rozwiązaniem jest najczęściej przedział liczbowy.

Przykład 1

Nierówności

Niech dana będzie nierówność:

(0)\frac{1}{3}x-\sqrt{2}<\frac{x-4}{\sqrt{2}}

Mnożąc obustronnie przez \sqrt{2} otrzymujemy:

(0)\frac{\sqrt{2}}{3}x-2<x-4

Przenosząc wyrażenia z x na lewą stronę a pozostałe wyrażenia na prawą mamy:

(0)\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)x<-2

Dzieląc obustronnie przez \displaystyle\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right) otrzymujemy:

(0)x>\frac{-2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)}

gdzie po drodze zmieniliśmy znak nierówności ponieważ \left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)<0.
Możemy jeszcze uprościć wyrażenie po prawej stronie:

(0)\begin{align*} \frac{-2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)}&=\frac{2}{\left(1-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)}\\&=\frac{2}{\left(\frac{3-\sqrt{2}}{3}\right)}\\&=\frac{6}{3-\sqrt{2}}\\&=\frac{6(3+\sqrt{2})}{7}\\&=\frac{18+6\sqrt{2}}{7} \end{align*}

Zatem rozwiązaniem nierówności jest przedział:

(0)x\in\left(\frac{18+6\sqrt{2}}{7},\infty\right)

Każda prosta dzieli płaszczyznę na dwie części:

Nierówność ostra