W celu porównania dwóch liczb rzeczywistych, należy zbadać znak ich różnicy, tj.:

a=b \iff a-b=0
a<b \iff a-b<0
a>b \iff a-b>0

<,> - nierówności ostre, \le,\ge - nierówności słabe.

Definicja 1

Uwaga

Nierówność podwójna to nierówność postaci a<b<c która jest równoważna dwóm osobnym nierównościom a<b i b<c:

(0)a<b<c\iff a<b\land b<c

gdzie każdy ze znaków nierówności < można zastąpić dowolnym innym znakiem nierówności: >,\le ,\ge.

Twierdzenie 1

Zasady równoważnych przekształceń równań

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c\in\mathbb{R} zachodzi:

a=b\iff a+c=b+c
a=b\iff a-c=b-c
\displaystyle a=b\land c\neq0 \Rightarrow a \cdot c=b \cdot c\land \frac{a}{c}= \frac{b}{c}

Twierdzenie 2

Zasady działań na nierównościach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c\in\mathbb{R} zachodzi:

a<b\iff a+c<b+c
a<b\iff a-c<b-c
\displaystyle a<b\land c>0\Rightarrow a \cdot c<b \cdot c \land \frac{a}{c} < \frac{b}{c}
\displaystyle a<b\land c<0\Rightarrow a \cdot c>b \cdot c \land \frac{a}{c} > \frac{b}{c}

Powyższe twierdzenia mają swoje zastosowanie przy rozwiązywaniu równań i nierówności. Pierwsze z nich mówi że do obu stron równania możemy dodać lub odjąć dowolną liczbę oraz że możemy pomnożyć i podzielić obie strony przez tę samą liczbę.
Drugie z nich mówi że możemy do obu stron nierówności dodać lub odjąć dowolną liczbę oraz że możemy pomnożyć i podzielić obie strony przez tę samą liczbę, przy czym gdy mnożymy przez liczbę ujemną, należy zmienić zwrot nierówności na przeciwny.