Wariancja zbioru liczb to średnia wartość kwadratów różnic między poszczególnymi liczbami, a ich średnią arytmetyczną.

Definicja 1

Wariancja

Wariancją liczb x_1,x_2,\ldots,x_n nazywamy liczbę \sigma^2 daną wzorem:

(0)\begin{aligned} \sigma^2&=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\ldots+(x_n-\overline{x})^2}{n} \end{aligned}

lub

(0)\sigma^2=\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{n}-(\overline{x})^2,

gdzie \overline{x} jest średnią arytmetyczną liczb x_1,x_2,\ldots x_n.

Innymi słowy, wariancja to średnia arytmetyczna kwadratów różnić między danymi liczbami a ich średnią arytmetyczną (odchyleń od średniej).

Definicja 2

Odchylenie standardowe

Odchyleniem standardowym liczb x_1,x_2,\ldots x_n nazywamy liczbę \sigma daną wzorem:

(0)\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\ldots+(x_n-\overline{x})^2}{n}}

gdzie \overline{x} jest średnią arytmetyczną liczb x_1,x_2,\ldots x_n.

Uwaga 1

Wariancja a odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe to nic innego niż pierwiastek kwadratowy z wariancji:

(0)\sigma=\sqrt{\sigma^2}

Dodatkowo, wzór na wariancję można uprościć do wyrażenia:

(0)\sigma^2=\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{n}-(\overline{x})^2

Wariancja i odchylenie standardowe obrazują poziom rozproszenia danych wokół średniej arytmetycznej - im mniejsze odchylenie standardowe, tym więcej liczb jest bliżej średniej arytmetycznej.