Definicja 1

Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastkiem kwadratowym (pierwiastkiem drugiego stopnia) z liczby nieujemnej a nazywamy liczbę nieujemną b, która podniesiona do kwadratu daje liczbę a:

(0)\sqrt{a}=b \iff b^2 = a \quad a,b\ge 0

Zamiast symbolu \displaystyle \sqrt[2]{} używamy \sqrt{}.

Uwaga 1

Uwaga

Wyrażenie \sqrt{4} czytamy: “pierwiastek z czterech”, “pierwiastek kwadratowy z czterech” lub “pierwiastek drugiego stopnia z czterech”.

Uwaga 2

\sqrt{a^2}

Zauważ, że dla dowolnego a\in\mathbb{R}:

(0)\sqrt{a^2}=\begin{cases}-a, &\text{gdy }a<0\\ a,&\text{gdy } a\ge 0\end{cases}

Jeżeli a\ge0, to dodatkowo:

(0)\left(\sqrt{a}\right)^2=\sqrt{a^2}

Przykład 1

Pierwiastek kwadratowy

Przykłady pierwiastków kwadratowych:

\sqrt{16}=4 ponieważ 4^2=16.
\sqrt{121}=11 ponieważ 11^2=121.
\displaystyle\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3} ponieważ \displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}.
\displaystyle \sqrt{1\frac{9}{16}}=\sqrt{ \frac{25}{16}= \frac{5}{4} }

Uwaga 3

Uwaga

Wiemy, że \sqrt{36}=6, ponieważ 6^2=36. Z drugiej strony (-6)^2 również równa się 36, więc czy -6 też nie powinno być pierwiastkiem z 36? Nie, ponieważ w definicji pierwiastka kwadratowego założyliśmy, że wynik pierwiastkowania ma być liczbą nieujemną!

Pierwiastki wybranych liczb

Zapamiętanie pierwiastków wybranych liczb potrafi znacząco przyśpieszyć obliczenia.

\sqrt{121}=11	\sqrt{144}=12	\sqrt{169}=13	\sqrt{196}=14	\sqrt{225}=15
\sqrt{1,21}=1,1	\sqrt{1,44}=1,2	\sqrt{1,69}=1,3	\sqrt{1,96}=1,4	\sqrt{2,25}=1,5

\sqrt{256}=16	\sqrt{289}=17	\sqrt{324}=18	\sqrt{361}=19	\sqrt{400}=20
\sqrt{2,56}=1,6	\sqrt{2,89}=1,7	\sqrt{3,24}=1,8	\sqrt{3,61}=1,9	\sqrt{4,00}=2,0

\sqrt{441}=21	\sqrt{484}=22	\sqrt{529}=23	\sqrt{576}=24	\sqrt{625}=25
\sqrt{4,41}=2,1	\sqrt{4,84}=2,2	\sqrt{5,29}=2,3	\sqrt{5,76}=2,4	\sqrt{6,25}=2,5

Twierdzenie 1

Własności pierwiastka kwadratowego

\sqrt{a^2}=|a|
\left(\sqrt{a}\right)^2=a
\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}=a,
\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b},
\sqrt{ \frac{a}{b} }= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}