Definicja 1

Potęga o wykładniku wymiernym

Niech a>0 oraz n\in \mathbb{N_+}, n>1, m\in\mathbb{Z}. Wówczas

(0)a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m

gdzie w szczególności dla m=1:

(0)a^{ \frac{1}{n} }=\sqrt[n]{a}

Uwaga 1

Wykładnik \frac{1}{2} i \frac{1}{3}

Zauważ, że potęgi a^{\frac{1}{2}} oraz \displaystyle a^\frac{1}{3} odpowiadają odpowiednio pierwiastkowi kwadratowemu \sqrt{a} oraz pierwiastkowi sześciennemu \sqrt[3]{a}.

Uwaga 2

Uwaga

(0)a^{- \frac{m}{n} }=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{-m}= \frac{1}{a^{ \frac{m}{n} }} (0)a^{ \frac{1}{n} }=\sqrt[n]{a}

Przykład 1

Potęgowanie

27^\frac{2}{3}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9