Definicja 1

Proporcja

Proporcją nazywamy równość dwóch ilorazów:

(0)a:b=c:d\qquad \frac{a}{b}= \frac{c}{d}

gdzie b,d\neq0. Wyrazy a,b,c,d tworzące proporcję nazywamy wyrazami proporcji, przy czym a i d to wyrazy skrajne, a b i c to wyrazy środkowe.

Proporcję a:b=c:d czytamy: “a ma się do b tak, jak c ma się do d” lub inaczej “stosunek a do b jest równy stosunkowi c do d“.

Zauważ, że jeżeli po obu stron równania mamy do czynienia z ułamkami to przekształcając otrzymujemy:

(0)\begin{aligned} \frac{a}{b}&= \frac{c}{d} \quad\bigg/ \cdot b\\ a&= \frac{cb}{d} \quad\bigg/ \cdot d\\ ad&=cb \end{aligned}

Takie przekształcenie nazywamy potocznie mnożeniem na krzyż i jest ono bardzo często wykorzystywane przy rozwiązywaniu równań i nierówności wymiernych.

Twierdzenie 1

Własności proporcji

W każdej proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

Powyższą własność potocznie nazywamy mnożeniem na krzyż i jest ona szczególnie przydatna przy rozwiązywaniu równań przyjmujących postać proporcji.

Definicja 2

Wielkości wprost proporcjonalne

Mówimy, że dwie wielkości są wprost proporcjonalne, jeżeli wraz ze wzrostem jednej z nich, druga rośnie tyle samo razy, oraz wraz ze spadkiem jednej z nich, druga maleje tyle samo razy.

Przykład 1

Wielkości wprost proporcjonalne

Zarobki i liczba przepracowanych godzin to wielkości wprost proporcjonalne. Jeśli pracownik zarabia 30\ \text{zł} za godzinę, to za 2 godziny zarobi 60\ \text{zł}, a za 5 godzin – 100\ \text{zł}.

Z proporcjami bardzo często spotykamy się w różnych zadaniach tekstowych i kluczem do ich rozwiązania jest właśnie ułożenie odpowiedniej proporcji w oparciu o dane podane w jego treści.

Uwaga 1

Uwaga

Przy układaniu proporcji z procentami, pamiętaj żeby procenty były w tej samej kolumnie i liczby również w tej samej kolumnie.