Przedziały to podzbiory zbioru liczb rzeczywistych \mathbb{R} o określonej postaci. Dzielimy je na przedziały ograniczone i nieograniczone, a te dodatkowo możemy podzielić na przedziały otwarte oraz domknięte (w tym jednostronnie domknięte).

Definicja 1

Przedział otwarty (ograniczony)

Przedziałem otwartym (obustronnie otwartym) od a do b (a,b\in\mathbb{R},a<b) nazywamy zbiór liczb liczb rzeczywistych większych od a i jednocześnie mniejszych od b. Zapisujemy:

(0)(a,b)=\{x: x>a \land x<b\}

Liczby a i b nazywamy końcami przedziału (odpowiednio lewym oraz prawym).

Definicja 2

Przedział domknięty (ograniczony)

Przedziałem domkniętym (obustronnie domkniętym) od a do b (a,b\in\mathbb{R},a<b) nazywamy zbiór liczb rzeczywistych większych bądź równych a oraz jednocześnie mniejszych bądź równych b. Zapisujemy:

(0)[a,b]=\{x: x\ge a \land x\le b\}

Jeśli do przedziału należy tylko jego lewy koniec, to mówimy o przedziale lewostronnie domkniętym, a jeśli do przedziału należy tylko jego prawy koniec to mówimy o przedziale prawostronnie domkniętym. Zapisujemy odpowiednio:

(0)\begin{align*} [a,b)=\{x: x\ge a \land x< b\}\\ (a,b]=\{x: x> a \land x\le b\}\\ \end{align*}

Definicja 3

Przedziały nieograniczone

Niech a\in\mathbb{R}. Przedziałami nieograniczonymi nazywamy następujące przedziały:

Przedział prawostronnie otwarty nieograniczony - zbiór liczb mniejszych od a:
(0)(-\infty, a)=\{x: x<a\}
Przedział prawostronnie domknięty nieograniczony - zbiór liczb mniejszych bądź równych a:
(0)(-\infty, a]=\{x: x\le a\}
Przedział lewostronnie otwarty nieograniczony - zbiór liczb większych od a:
(0)(a,+\infty)=\{x: x>a\}\\
Przedział lewostronnie domknięty nieograniczony - zbiór liczb większych bądź równych a:
(0)[a,+\infty]=\{x: x\ge a\}
Przedział obustronnie nieograniczony - zbiór liczb rzeczywistych:
(0)(-\infty,\infty)=\{x:x\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}

Uwaga 1

Liczba elementów w przedziale

Ograniczoność przedziału (a,b) nie oznacza że jest to zbiór skończony (ma skończoną liczbę elementów). Wręcz przeciwnie, jeśli a<b to każdy przedział (a,b) zawiera nieskończoną liczbę elementów, ponieważ istnieje nieskończenie wiele liczb rzeczywistych pomiędzy a i b.

Uwaga 2

Końce przedziałów

Zauważ, że a\notin(a,b) oraz b\notin(a,b). Z drugiej natomiast strony, a\in[a,b] oraz b\in[a,b]. W przypadku zbiorów jednostronnie domkniętych: a\in[a,b) oraz b\notin[a,b) i a\notin(a,b] oraz b\in(a,b].
Analogicznie: a\notin(a,\infty) oraz a\notin (-\infty,a) i a\in[a,\infty) oraz a\in(-\infty,a].

Uwaga 3

Nazewnictwo

Zauważ, że przedziały lewostronnie oraz prawostronnie domknięte możemy równoważnie nazwać odpowiednio przedziałami prawostronnie oraz lewostronnie otwartymi.

Uwaga 4

Uwaga

Fakt, że punkt nie należy do danego przedziału oznaczamy na rysunku niezamalowanym kółkiem, a jeśli należy - zamalowanym.

Uwaga 5

Uwaga

W przedziale otwartym nie ma ani liczby największej, ani najmniejszej. W przedziale lewostronnie otwartym nie ma liczby najmniejszej, a w prawostronnie otwartym - największej.