Definicja 1

Próba Bernoulliego

Próbą Bernoulliego nazywamy pojedyncze doświadczenie losowe, w którym możliwe są dokładnie dwa wzajemnie wykluczające się wyniki: sukces i porażka. Prawdopodobieństwo sukcesu oznaczamy przez p\in(0,1), a prawdopodobieństwo porażki przez q=1-p.

Definicja 2

Schemat Bernoulliego

Schemat Bernoulliego to seria n niezależnych prób Bernoulliego, w których każda próba ma to samo prawdopodobieństwo sukcesu p i porażki q.

Uwaga 1

Uwaga

Zapis

(0)P(S_n=k)

oznacza prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w n próbach Bernoulliego.

Twierdzenie 1

Wzór Bernoulliego

W schemacie n prób Bernoulliego prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów wyraża się wzorem:

(0)P_n(k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}

gdzie p oznacza prawdopodobieństwo sukcesu, a q=1-p - prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie.

Przykład 1

Przykład

Rzucamy kostką do gry 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo że 6 wypadnie dokładnie 3 razy?

Przyjmujemy:

n=4 - liczba rzutów
k=3 - liczba sukcesów
\displaystyle p= \frac{1}{6} - prawdopodobieństwo sukcesu
\displaystyle q=1- \frac{1}{6}= \frac{5}{6} - prawdopodobieństwo porażki

(0)\begin{aligned} P_4(3)&=\binom{4}{3} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^{3} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{4-3}\\ &=4 \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{5}{6}= \frac{5}{384} \end{aligned}