Okrąg i prosta mogą mieć jeden punkt wspólny, dwa punkty wspólne lub nie mieć ich wcale.

Definicja 1

Styczna

Styczną do okręgu nazywamy prostą która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny (tzw. punkt styczności prostej i okręgu). Mówimy też że okrąg jest styczny do prostej.

Uwaga 1

Uwaga

Zauważ, że najkrótszym odcinkiem który łączy środek okręgu ze styczną do tego okręgu jest promień poprowadzony do punktu styczności.

Twierdzenie 1

O stycznej do okręgu

Zachodzą następujące równoważności:

prosta jest styczną do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy promień tego okręgu poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do tej prostej.
prosta jest styczną do okręgu wtedy i tyko wtedy, gdy odległość środka tego okręgu od tej prostej jest równa promieniowi tego okręgu.

Definicja 2

Sieczna

Sieczną okręgu nazywamy prostą która ma z tym okręgiem dwa punkty wspólne.

Twierdzenie 2

O siecznej okręgu

Prosta jest sieczną okręgu wtedy i tyko wtedy, gdy odległość środka tego okręgu od tej prostej jest mniejsza od promienia tego okręgu.

Definicja 3

Zewnętrzna okręgu

Zewnętrzną okręgu nazywamy dowolną prostą która nie ma z danym okręgiem żadnych punktów wspólnych.

Twierdzenie 3

O zewnętrznej okręgu

Prosta jest zewnętrzną okręgu wtedy i tyko wtedy, gdy odległość środka tego okręgu od tej prostej jest mniejsza od promienia tego okręgu.

Twierdzenie 4

O odcinkach stycznych

Jeżeli dwie styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie P, to

(0)|PA|=|PB|

Definicja 4

Kąt pod jakim widać okrąg

Kątem pod jakim widać okrąg nazywamy kąt wypukły utworzony przez dwie styczne do tego okręgu.

Definicja 5

Kąt dopisany do okręgu

Kątem dopisanym do okręgu w punkcie P leżącym na tym okręgu nazywamy kąt wypukły wyznaczony przez styczną do okręgu w punkcie P oraz półprostą zawierającą cięciwę tego okręgu o początku w punkcie punkcie styczności P.

Mówimy też, że kąt ten jest oparty na łuku wyznaczonym przez tę cięciwę.

Kąt dopisany nazywamy również kątem między styczną a cięciwą.

Twierdzenie 5

O kącie dopisanym

Miara kąta dopisanego jest równa mierze kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Twierdzenie 6

O stycznej i siecznej

Jeżeli przez punkt P którego odległość od środka danego okręgu jest większa niż promień, poprowadzimy styczną do okręgu w punkt A oraz sieczną przecinającą okrąg w punktach B i C, to zachodzi równość:

(0)|PA|^2=|PB| \cdot |PC|

Twierdzenie 7

O siecznych

Jeżeli dwie proste przecinają okrąg w punktach A i B oraz C i D, a także przecinają się w punkcie P, którego odległość od środka danego okręgu jest większa niż promień tego okręgu, to

(0)|PA|\cdot |PB|=|PC|\cdot |PD|

Uwaga 2

Uwaga

Powyższe Twierdzenie jest również prawdziwe gdy sieczne przecinają się wewnątrz okręgu:

Uwaga 3

Uwaga

Pojęcia stycznej, siecznej i zewnętrznej okręgu dotyczą również koła (jako że okrąg jest jego brzegiem).

Styczna do okręgu