Definicja 1

Ciąg arytmetyczny

Ciąg liczbowy (a_n) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli każdy następny wyraz tego ciągu różni się od poprzedniego o stałą wartość r\in\mathbb{R}, czyli gdy dla dowolnego n\in\mathbb{N_+} zachodzi:

(0)a_{n+1}=a_n+r

Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Twierdzenie 1

O charakteryzacji ciągu arytmetycznego

Ciąg liczbowy \left(a_n\right) jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla n>1, n-ty wyraz tego ciągu jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich wyrazów:

(0)a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

Twierdzenie 2

Wzór na sumę ciągu arytmetycznego

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \left(a_n\right) jest równa średniej arytmetycznej pierwszego oraz ostatniego wyrazu, pomnożonej przez liczbę wyrazów:

(0)S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

lub równoważnie:

(0)S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n

Jeżeli k<n, to suma ciągu arytmetycznego od wyrazu k do n dana jest wzorem:

(0)S_n^k=\frac{a_k+a_n}{2}\cdot(n-k+1)

Dodatkowo,

(0)a_n=S_n-S_{n-1}

Twierdzenie 3

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a_1 oraz różnicy r przyjmuje postać:

(0)a_n=a_1+(n-1)r

Ogólniej, dla dowolnego k\in \mathbb{N_+}:

(0)a_n=a_k+(n-k)r

Twierdzenie 4

O monotoniczności ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny \left(a_n\right) o różnicy r jest:

malejący, jeżeli r<0.
stały, jeżeli r=0.
rosnący, jeżeli r>0.

Twierdzenie o charakteryzacji ciągu arytmetycznego