Definicja 1

Ostrosłup

Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany (tzw. ściany boczne) są trójkątami o wspólnym wierzchołku (tzw. wierzchołek ostrosłupa) nieleżącym na płaszczyźnie podstawy. Ostrosłup, którego podstawą jest n-kąt, nazywamy ostrosłupem n-kątnym.

Ostrosłup który w podstawie ma trójkąt nazywamy ostrosłupem trójkątnym, kwadrat nazywamy ostrosłupem czworokątnym itd.

Definicja 2

Wysokość ostrosłupa

Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek (oraz jego długość), którego jednym końcem jest wierzchołek ostrosłupa, a drugim jest rzut prostokątny tego wierzchołka na płaszczyznę podstawy (tzw. spodek wysokości).

Uwaga 1

Uwaga

Zauważ, że spodek wysokości ostrosłupa pochyłego nie leży na jego podstawie.

Definicja 3

Ostrosłup prosty

Mówimy, że ostrosłup jest prosty, jeżeli jego wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości.

Twierdzenie 1

Warunki równoważne w ostrosłupie

Następujące warunki są równoważne:

ostrosłup jest prosty
na podstawie tego ostrosłupa można opisać okrąg oraz spodek wysokości tego ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na jego podstawie,
wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa tworzą jednakowe kąty z płaszczyzną podstawy.

Definicja 4

Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłup prosty, który w podstawie ma wielokąt foremny, nazywamy graniastosłupem prawidłowym.

Uwaga 2

Uwaga

W ostrosłupie prawidłowym, spodek wysokości leży w jednakowych odległościach od wierzchołków podstawy, tj. jest środkiem okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa.

W szczególności spodek leży:

trójkąt równoboczny - przecięcie się wysokości trójkąta.
kwadrat - przecięcie przekątnych podstawy
pięciokąt foremny - przecięcie się dwusiecznych kątów

Dodatkowo, ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są trójkątami równoramiennymi.

Twierdzenie 2

Wzór na pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni ostrosłupa wyraża się wzorem:

(0)P_c=P_p+P_b

gdzie P_p to pole podstawy ostrosłupa, natomiast P_b - suma pól ścian bocznych ostrosłupa.

Twierdzenie 3

Wzór na objętość ostrosłupa

Objętość dowolnego ostrosłupa dana jest wzorem:

(0)V=\frac{1}{3}P_p\cdot H

gdzie P_p to pole podstawy ostrosłupa, natomiast H - jego wysokością.

Definicja 5

Czworościan foremny

Czworościanem foremnym nazywamy ostrosłup prawidłowy trójkątny, tj. ostrosłup którego podstawą oraz ścianami bocznymi są trójkąty równoboczne.

Twierdzenie 4

O czworościanie foremnym

Niech dany będzie czworościan foremny o krawędzi długości a. Wówczas:

(0)\begin{align*} h&= \frac{a\sqrt{3}}{2}\\ P_c&=a^2\sqrt{3}\\ H&=\frac{a\sqrt{6}}{3}\\ V&=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\\ \end{align*}

Definicja 6

Kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa prawidłowego

Kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa prawidłowego to kąt wyznaczony przez ramiona trójkąta równoramiennego, który tworzy ścianę boczną tego ostrosłupa.

Twierdzenie 5

O ostrosłupie prawidłowym czworokątnym

Niech dany będzie ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H, wysokości ściany bocznej h oraz długości boku podstawy a. Wówczas:

(0)\begin{aligned} P_c&=a^2+4 \cdot \frac{1}{2}ah &=a^{2}+2ah\\ V&= \frac{1}{3}a^2H \end{aligned}

Twierdzenie 6

O ostrosłupie prawidłowym trójkątnym

Niech dany będzie ostrosłup prawidłowy trójkątny o wysokości H, wysokości ściany bocznej h oraz długości boku podstawy a. Wówczas:

(0)\begin{aligned} P_c&=P_p+P_b=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot \frac{1}{2}ah=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{3ah}{2}\\ V&=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{a^2H\sqrt{3}}{12} \end{aligned}

Twierdzenie 7

Własności ostrosłupa

Ostrosłup którego podstawą jest n-kąt posiada:

n ścian bocznych,
n+1 wszystkich ścian,
n+1 wierzchołków,
2n krawędzi

Twierdzenie 8

O spodku wysokości w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym

Spodkiem wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest ortocentrum, czyli punkt przecięcia się wysokości podstawy.

Twierdzenie o czworościanie foremnym