logo
Twierdzenie

Twierdzenie o działaniach na granicach ciągów zbieżnych

Jeżeli lim⁡n→∞an=a\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a oraz lim⁡n→∞bn=b\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=b, gdzie a,b,∈Ra,b,\in\mathbb{R}, to ciągi (an+bn)\left(a_n+b_n\right), (an−bn)\left(a_n-b_n\right), (an⋅bn)\left(a_n \cdot b_n\right) oraz (anbn)\displaystyle \left( \frac{a_n}{b_n} \right) (o ile dodatkowo b≠0b\neq 0 i bn≠0b_n\neq0) również są zbieżne oraz zachodzą następujące równości:

  • lim⁡n→∞(c⋅an)=c⋅a, gdzie c∈R\displaystyle\lim_{n\to\infty}(c\cdot a_n)=c\cdot a,\quad \text{ gdzie } c\in\mathbb{R}

  • lim⁡n→∞(an+bn)=lim⁡n→∞an+lim⁡n→∞bn=a+b\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n + \lim_{n\to\infty}b_n=a+b

  • lim⁡n→∞(an−bn)=lim⁡n→∞an−lim⁡n→∞bn=a−b\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n -\lim_{n\to\infty}b_n=a-b

  • lim⁡n→∞(an⋅bn)=lim⁡n→∞an⋅lim⁡n→∞bn=a⋅b\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n \cdot\lim_{n\to\infty}b_n=a\cdot b

  • lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞anlim⁡n→∞bn=ab, gdzie b≠0,bn≠0 dla n∈N+\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n} =\frac{a}{b},\quad \text{ gdzie } b\neq0,b_n\neq0 \text{ dla }n\in\mathbb{N_+}

Dowiedz się więcej!

Więcej informacji o pojęciu Twierdzenie o działaniach na granicach ciągów zbieżnych znajdziesz w:

Granica ciągu