Podobnie jak w przypadku liczb, dzielenie wielomianów polega na podzieleniu jednego wielomianu przez drugi, aby otrzymać iloraz i ewentualnie resztę. Wyróżniamy kilka metod dzielenia, w tym dzielenie pisemne oraz schemat Hornera, który jest szczególnie przydatny przy dzieleniu przez dwumian postaci x-c.

Przykład 1

Analogia do dzielenia liczb

Tak jak przy dzieleniu liczb mamy:

(0)\begin{aligned} 12:6&=2,\ \text{ponieważ}\ 2 \cdot 6=12\\ 7:2&=3\ \text{r.}\ 1\ \text{ponieważ}\ 2 \cdot 3 +1=7\\ \end{aligned}

tak w przypadku wielomianów mamy:

\displaystyle (x^3-4x^2+7x+6):(x-2)=x^2-2x+3 ponieważ
(0)\begin{aligned} (x^2-2x+3) \cdot (x-2)&=x^3-2x^2-2x^2+4x+3x-6\\&=x^3-4x^2+7x-6 \end{aligned}

Definicja 1

Podzielność wielomianów

Mówimy, że wielomian w(x) jest podzielny przez wielomian v(x), jeżeli istnieje wielomian s(x), taki że:

(0)w(x)=v(x)\cdot s(x)

Wielomian s(x) nazywamy ilorazem wielomianu w(x) przez v(x), a wielomian v(x) to dzielnik wielomianu w(x).

Twierdzenie 1

O dzieleniu wielomianów z resztą

Niech dane będą wielomiany w oraz v. Jeżeli v jest wielomianem niezerowym, to istnieją dwa wielomiany q oraz r, takie że

(0)w(x)=p(x)\cdot q(x)+r(x)

gdzie

(0)\text{st}(r)<\text{st}(p)

Twierdzenie 2

O reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian liniowy

Niech dany będzie wielomian w (dowolnego stopnia). Wówczas reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian x-a wynosi

(0)r=w(a)

oraz istnieje wielomian v(x) taki że

(0)w(x)=(x-a)v(x)+r

Uwaga 1

Uwaga

Z powyższego Twierdzenia wynika, że a jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy w(a)=0.

Twierdzenie 3

Twierdzenie Bézouta

Wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian (x-a) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Schemat Hornera ma swoje zastosowane gdy dzielimy wielomian przez dwumian liniowy x-c, tj. w następujących przypadkach:

(0)\begin{aligned} x-3&\Rightarrow c=3 \\ x- \frac{4}{11}&\Rightarrow c= \frac{4}{11} \\ x+10 =x-(-10) &\Rightarrow c=-10\\ x+ \frac{3}{4}=x-\left(- \frac{3}{4} \right)&\Rightarrow c=- \frac{3}{4} \end{aligned}

Wynikiem dzielenia przez dwumian liniowy jest wielomian o jeden stopień niższy od początkowego.

Uwaga 2

Uwaga

Do tabeli w schemacie Hornera należy wpisać wszystkie współczynniki wielomianu, również te zerowe!

Twierdzenie o dzieleniu wielomianu z resztą