Pojęcia uogólnionego kąta skierowanego oraz miary łukowej pozwalają nam zdefiniować funkcje trygonometryczne dla dowolnej liczby rzeczywistej \alpha\in\mathbb{R}, bowiem możemy dla niej znaleźć taki uogólniony kąt skierowany którego miara łukowa wynosi \alpha.

Definicja 1

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Niech w układzie współrzędnych będzie dany uogólniony kąt skierowany o mierze \alpha\in\mathbb{R} oraz niech P=\left(x,y\right) będzie dowolnym punktem na ramieniu końcowym tego kąta, różnym od punktu O=(0,0). Wówczas:

(0)\begin{aligned} \sin\alpha&= \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \cos\alpha&= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \sin\alpha&= \frac{y}{x}&\quad(x\neq 0) \\ \sin\alpha&= \frac{x}{y}&\quad (y\neq 0) \\ \end{aligned}

Twierdzenie 1

O okresowości funkcji trygonometrycznych

Dla dowolnego m\in\mathbb{R} zachodzą następujące wzory redukcyjne:

Dla \alpha\in\mathbb{R} :
(0)\sin(m \cdot 2\pi+\alpha)=\sin\alpha
Dla \alpha\in\mathbb{R}:
(0)\cos(m \cdot 2\pi+\alpha)=\cos\alpha
Dla \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}:
(0)\tg(m \cdot 2\pi+\alpha)=\tg\alpha
Dla \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}:
(0)\ctg(m \cdot 2\pi+\alpha)=\ctg\alpha

Twierdzenie 2

O parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych

Funkcje sinus, tangens i cotangens są funkcjami nieparzystymi, natomiast funkcja cosinus jest funkcją parzysta i zachodzą następujące równości:

Dla \alpha\in\mathbb{R}:
(0)\sin(-\alpha)=-\sin\alpha
Dla \alpha\in\mathbb{R}:
(0)\cos(-\alpha)=\cos\alpha
Dla \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}
(0)\tg(-\alpha)=-\tg\alpha
Dla \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}:
(0)\ctg(-\alpha)=-\ctg\alpha

Twierdzenie 3

O okresowości funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi oraz:

okres zasadniczy funkcji \tg x i \ctg x jest równy \pi.
okres podstawowy funkcji \sin xi \cos x jest równy 2\pi.

Twierdzenie 4

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Zachodzą następujące zależności pomiędzy wartościami funkcji trygonometrycznych:

Dla dowolnego \alpha\in\mathbb{R} (jedynka trygonometryczna)
(0)\begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \end{aligned}
Dla dowolnego \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}:
(0)\displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
Dla dowolnego \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}:
(0)\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
Dla dowolnego \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z} \right\}
(0)\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1

Twierdzenie 5

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy

Dla dowolnych x,y\in\mathbb{R} zachodzą następujące równości:

(0)\sin(x+y)=\sin x\cos y + \cos x \sin y\\ \sin(x-y)=\sin x\cos y - \cos x \sin y\\ \cos(x+y)=\cos x\cos y - \sin x \sin y\\ \cos(x-y)=\cos x \cos y + \sin x \sin y

Dodatkowo:

Dla \displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} \right\}:

(0)\tg(x+y)=\frac{\tg x + \tg y}{1-\tg x\tg y}\\ \tg(x-y)=\frac{\tg x - \tg y}{1+\tg x \tg y}\\

Dla \displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z} \right\}:
(0)\ctg(x+y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y - 1}{\ctg y+\ctg x}\\ \ctg(x-y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y + 1}{\ctg y - \ctg x}

Twierdzenie 6

Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

Zachodzą następujące własności funkcji trygonometrycznych podwojonego kąta:

Dla dowolnego x\in\mathbb{R} zachodzą następujące równości:
(0)\begin{align*} \sin2x&=2\sin x\cos x\\ \end{align*}

Dla dowolnego x\in\mathbb{R}:
(0)\begin{aligned} \cos2x&=\cos^2x - \sin^2x\\ &=2\cos^2x-1\\ &=1-2\sin^2x \end{aligned}
Dla dowolnego \displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\}:
(0)\tg2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}= \frac{2}{\ctg x-\tg x}
Dla dowolnego \displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\}:
(0)\ctg2x=\frac{\ctg x - \tg x}{2}=\frac{\ctg^2x-1}{2\ctg x}

Twierdzenie 7

Funkcje trygonometryczne potrojonego kąta

(0)\begin{aligned} &\sin{3 x }=-4\sin^3{ x }+3\sin{ x }\\ &\cos{3 x }=4 \cos^3{ x }-3\cos{ x }\\ &\text{tg}{3 x }=\frac{3\ \text{tg}{ x }-\text{tg}^3{ x }}{1-3\ \text{tg}^2{ x }}\\ &\text{ctg}{3 x }=\frac{\text{ctg}^3{ x }-3\ \text{ctg}{ x }}{3\ \text{ctg}^2{ x }-1} \end{aligned}

Dowód

(0)\begin{aligned} \sin3\alpha&=\sin\left(\alpha+2\alpha\right)\\ &=\sin\alpha\cos2\alpha+\sin2\alpha\cos\alpha\\ &=\sin\alpha(1-2\sin^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha\cos\alpha\\ &=\sin\alpha -2\sin^3\alpha+2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)\\ &=\sin\alpha -2\sin^3\alpha+2\sin\alpha-2\sin^3\alpha\\ &=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha \end{aligned}

Twierdzenie 8

Suma i różnica funkcji trygonometrycznych

Dla dowolnego x,y\in\mathbb{R}:

(0)\begin{aligned} \sin x+\sin y&=2 \cdot \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}\\ \sin x-\sin y&=2 \cdot \sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2}\\ \cos x+\cos y&=2 \cdot \cos \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}\\ \cos x-\cos y&=-2 \cdot \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}\\ \tg{x}+\tg{y}&=\frac{\sin{\left(x+y\right )}}{\cos{x}\cos{y}}\\ \tg{x}-\tg{y}&=\frac{\sin{\left (x-y\right )}}{\cos{x}\cos{y}}\\ \ctg{x}+\ctg{y}&=\frac{\sin{\left (y+x\right)}}{\sin{x}\sin{y}}\\ \ctg{x}-\ctg{y}&=\frac{\sin{\left(y-x\right )}}{\sin{x}\sin{y}} \end{aligned}

Twierdzenie 9

O znaku funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych

Rozważmy funkcje trygonometryczne \sin,\cos,\tg i \ctg w układzie współrzędnych. Wówczas:

w pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie
w drugiej ćwiartce dodatni jest tylko sinus
w trzeciej ćwiartce dodatnie są tangens i cotangens
w czwartej ćwiartce dodatni jest tylko cosinus

Twierdzenie o funkcjach trygonometrycznych potrojonego kąta