logo
Twierdzenie

Twierdzenie o funkcjach trygonometrycznych sumy i różnicy

Dla dowolnych x,y∈Rx,y\in\mathbb{R} zachodzą następujące równości:

sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡ysin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡ycos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡ycos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y\sin(x+y)=\sin x\cos y + \cos x \sin y\\ \sin(x-y)=\sin x\cos y - \cos x \sin y\\ \cos(x+y)=\cos x\cos y - \sin x \sin y\\ \cos(x-y)=\cos x \cos y + \sin x \sin y
(0)

Dodatkowo:

  • Dla α,β,α+β,α−β∈R∖{x:x=π2+kπ,k∈Z}\displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} \right\}:

tg⁡(x+y)=tg⁡x+tg⁡y1−tg⁡xtg⁡ytg⁡(x−y)=tg⁡x−tg⁡y1+tg⁡xtg⁡y\tg(x+y)=\frac{\tg x + \tg y}{1-\tg x\tg y}\\ \tg(x-y)=\frac{\tg x - \tg y}{1+\tg x \tg y}\\
(0)

  • Dla α,β,α+β,α−β∈R∖{x:x=kπ2,k∈Z}\displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z} \right\}:

    ctg⁡(x+y)=ctg⁡x⋅ctg⁡y−1ctg⁡y+ctg⁡xctg⁡(x−y)=ctg⁡x⋅ctg⁡y+1ctg⁡y−ctg⁡x\ctg(x+y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y - 1}{\ctg y+\ctg x}\\ \ctg(x-y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y + 1}{\ctg y - \ctg x}
    (0)

Dowiedz się więcej!

Więcej informacji o pojęciu Twierdzenie o funkcjach trygonometrycznych sumy i różnicy znajdziesz w:

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej